目次

1 導入 2

2 定義と性質 5

3 証明 8 3.1 Poincaré 級数の変形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.2 Poincaré 級数や Eisenstein 級数の性質 . . . . . . . . . . . . . 18 3.3 Eisenstein 級数の変形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4 内積の計算１ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.5 内積の計算２ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.6 定理の証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1 導入

最初に、具体的に計算されているクズネツォフ公式を、定理 1.1 と定理 1.2 として、２つ紹介する。

上半平面を H = {z = (x, y) ∈ C | y > 0} とし、 Γ = SL( 2, Z ) とする。 H に Γ を１次分数変換で作用させたときの基本領域について、以下のクズネツォフ公式が成立する。

定理 1.1 [Kuznecov, p.302-303 Thm.1] 1 ≤ ∀m, ∀n ∈ Z とする。また、関数 h(r) は偶関数、かつ、 δ_{1} > \frac{1}{2} のとき、 | Im r |≤ δ_{1} において正則で、かつ、 | r |→ ∞ かつ | Im r |≤ δ_{1} のとき、ある δ_{2} > 0 に対して、 | h(r) |= O( | r |^{−2−δ_{2}}) を満たすようなものとする。このとき、

∑_{j=1}^{∞} \frac{\overline{ρ_{j}(n)}ρ_{j}(m)}{cosh( πκ_{j})}h(κ_{j}) + \frac{1}{π} ∫_{−∞}^{∞} ( \frac{m}{n} )^{ir} σ_{2ir}(n)σ_{−2ir}(m)\frac{h(r)}{| ζ( 1 + 2ir ) |^{2}} dr

= \frac{δ_{n,m}}{π^{2}} ∫_{−∞}^{∞} r tanh( πr )h(r) dr + ∑_{c=1}^{∞} \frac{S( n, m; c )}{c}φ ( \frac{4π\sqrt{nm}}{c} )

が成立する。

但し、 Laplacian を Δ = −y^{2} ( \frac{∂^{2}}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}}{∂y^{2}} ) とする。 Δ を L^{2}( Γ\H ) に作用させる。 Δψ_{j} = λ_{j}ψ_{j} (ψ_{j} ∈ L^{2}(Γ\H)) が成立するとき、この λ_{j} を Δ の固有値と定義し、 ψ_{j} を Δ の固有関数と定義する。 λ_{j} は j について非減少とする。このとき、 κ_{j} = \sqrt{λ_{j} − \frac{1}{4}} とおく。 ρ_{j}(·) は ψ_{j} の Fourier 係数である。 σ_{ν}(n) = ∑_{d|n} | d |^{ν} とし、 ζ(s) は Riemann-zeta 関数である。 Kloosterman 和 S( n, m; c ) を 0 ≠ c ∈ Z とすると、

S( n, m; c ) = ∑_{1≤d≤|c| ; {( c,d )=1 \atop dd′≡1 mod c}} e^{2πi( \frac{nd}{c} + \frac{md′}{c} )}

で定義する。 δ_{n,m} は Kronecker symbol である。 φ(·) は、 h(r) と J-Bessel 関数の積分である。

次に、２つ目のクズネツォフ公式を紹介する。３次元上半空間 H^{3} = { ( x_{1} + x_{2}i , y ) ∈ C × R | x_{1}, x_{2} ∈ R, y > 0 } とし、 Gauss 整数を Z[i] = { a + bi | a, b ∈ Z } と定義する。 Γ = SL( 2, Z[i] ) とする。このとき、 H^{3} に Γ を１次分数変換で作用させたときの基本領域を Picard 多様体という。この Picard 多様体について、以下のクズネツォフ公式が成立する。

定理 1.2 [本橋１, p. 268 Thm.] l ≠ 0 かつ l, m, n ∈ Z[i] のとき、 Kloosterman 和 S( m, n; l ) を

S( m, n; l ) = ∑_{v mod l ; {( v,l )=1 \atop vv′≡1 mod l}} e^{2πi[ m, \frac{v}{l} ]}e^{2πi[ n, \frac{v′}{l} ]}

と定義する。但し、 [ ·, · ] は R^{2} の通常の内積である。

0 ≠ m, n ∈ Z[i] かつ r ∈ C とする。関数 h(r) は偶関数かつ、ある ε > 0 に対して、 | Im r |< \frac{1}{2} + ε において正則で、かつ、 h(r) ≪ ( 1+ | r | )^{−3−ε} を満たすようなものとする。このとき、

∑_{j=1}^{∞} \frac{\overline{ρ_{j}(m)}ρ_{j}(n)}{sinh(πκ_{j})}κ_{j}h(κ_{j}) + 2π ∫_{−∞}^{∞} \frac{σ_{ir}(m)σ_{ir}(n)}{| mn |^{ir}| ζ_{K}(1 + ir) |^{2}} h(r) dr

= π^{−2}( δ_{m,n} + δ_{m,−n} ) ∫_{−∞}^{∞} r^{2}h(r) dr + ∑_{0≠l∈Z[i]} | l |^{−2} S( m, n; l )ȟ(2πϖ)

が成立する。

但し、 Laplacian を Δ = −y^{2}((\frac{∂}{∂x_{1}} )^{2} + (\frac{∂}{∂x_{2}} )^{2} + (\frac{∂}{∂y})^{2}) + y (\frac{∂}{∂y}) と定義する。 Δ を L^{2}( Γ\H^{3} ) に作用させる。 Δψ_{j} = λ_{j}ψ_{j} (ψ_{j} ∈ L^{2}(Γ\H^{3})) が成立するとき、この λ_{j} を Δ の固有値と定義し、 ψ_{j} を Δ の固有関数と定義する。 λ_{j} は j について非減少とする。このとき、 λ_{j} は実数 κ_{j} を用いて、 λ_{j} = κ_{j}^{2} + 1 とおける。 ϖ^{2} = \frac{\overline{mn}}{l^{2}} である。 ȟ(t) は h(r) と J-Bessel 関数の積分である。 σ_{ν}(n) = \frac{1}{4} ∑_{d|n , d∈Z[i]} | d |^{2ν} と定義する。 K = Q(i) とし、 ζ_{K}(·) は Dedekind zeta 関数である。

では、本論文の主定理を述べる。 ω = \frac{−1+\sqrt{3}i}{2} とおき、 Z[ω] = \{ a + bω | a, b ∈ Z \} と定義すると、 Z[ω] は類数１の虚２次体 K = Q(\sqrt{−3}) の整数環である。この場合のクズネツォフ公式の存在は、 Miatello-Wallach によって証明されている。そこで、本論文では同じ類数１の虚２次体 Q(i) の整数環におけるクズネツォフ公式を導いた定理 1.2 の過程を参考にする。 Γ = SL( 2, Z[ω] ) とする。このとき、 H^{3} に Γ を１次分数変換で作用させたときの基本領域を Bianchi 多様体という。本論文では、この Bianchi 多様体について、クズネツォフ公式を証明した。

まず、記号を定義する。

H^{3} = { z = x + yȷ | ȷ^{2} = −1 かつ iȷ = −ȷi } という形にも書ける。 LaplacianΔ を定理 1.2 と同様に定義する。 Δ を L^{2}( Γ\H^{3} ) に作用させる。 Δψ_{j} = λ_{j}ψ_{j} (ψ_{j} ∈ L^{2}(Γ\H^{3})) が成立するとき、この λ_{j} を Δ の固有値と定義し、 ψ_{j} を Δ の固有関数と定義する。 λ_{j} は j について非減少とする。このとき、 1 ≤ λ_{j} となる ψ_{j} について、以下が成り立つ。

補題 1.3 [Sarnak, p.264 (2.20)] ψ_{j}(z) は以下のように Fourier 展開できる。

ψ_{j}(z) = y ∑_{n∈Z[ω]^{∗}} ρ_{j}(n)K_{iκ_{j}}( 2π | n | y )e( [ n, x ] ) .

但し、 K_{iκ_{j}} は K-Bessel 関数であり、右辺の記号は κ_{j}^{2} = λ_{j}−1 とし、 e( [ n, x] ) := e^{2πi[ n,x ]} と定義する。次に、 Z[ω] の dual lattice を定義する。定義 1.4 Z[ω] の dual lattice を Z[ω]^{∗} と書き、 Z[ω]^{∗} = { x ∈ C | ∀c ∈ Z[ω] , [ c, x ] ∈ Z} と定義する。次に、 σ_{ν}(n) と σ′_{ν}(n) を定義する。定義 1.5 n ∈ Z[ω] のとき、

σ_{ν}(n) := \frac{1}{6} ∑_{\frac{n}{d} ∈Z[ω]} | d |^{2ν} .

と定義し、 n ∈ Z[ω]^{∗} のとき、

σ′_{ν}(n) := \frac{1}{6} ∑_{\frac{n}{d} ∈Z[ω]^{∗}} | d |^{2ν} .

と定義する。次に、 Dedekind zeta 関数を定義する。定義 1.6 Re s > 1 であるような s ∈ C を考える。 Dedekind zeta 関数 ζ_{K}(s) を以下のように定義する。

ζ_{K}(s) := ∑_{(0)≠(l)⊂Z[ω]} \frac{1}{N ( (l) )^{s}}

次に、 Kloosterman 和を定義する。定義 1.7 Z[ω] に対する、 Kloosterman 和 S( m, n; l ) を以下のように定義する。

S( m, n; l ) := ∑_{v mod (l) ; ( v,(l) )=(1) ; {vv^{∗}≡1 mod (l) \atop m,n∈Z[ω]^{∗}}} e ( [ m, \frac{v}{l} ] ) e ( [ n, \frac{v^{∗}}{l} ] ) .

以下に本論文の主定理を述べる。定理 1.8 0 ≠ m, n ∈ Z[ω]^{∗} とし、 r ∈ C とする。関数 h(r) は偶関数かつ、ある ε > 0 に対して、 | Im r |< \frac{1}{2} +ε において正則で、かつ、 h(r) ≪ ( 1+ | r |)^{−4−ε} を満たすようなものとする。このとき、

∑_{j=1}^{∞} \frac{\overline{ρ_{j}(m)}ρ_{j}(n)}{sinh(πκ_{j})}κ_{j}h(κ_{j}) + 2π ∫_{−∞}^{∞} ( \frac{| n |}{| m |} )^{ir} \frac{σ′_{ir}(m)σ′_{−ir}(n)}{| ζ_{K}(1 + ir) |^{2}}h(r) dr

= π^{−2}( δ_{m,n} + δ_{m,nω} + δ_{m,n\overline{ω}} ) ∫_{−∞}^{∞} r^{2}h(r) dr + ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−2} S(m, n; l)ȟ(2πϖ)

が成立する。但し、

ȟ(t) = i ∫_{−∞}^{∞} \frac{r^{2}}{sinh(πr)}J_{ir}(t)h(r) dr

と定義し、 J_{ν}(t) は t, ν ∈ C のとき、

J_{ν}(t) = 2^{−2ν} | t |^{2ν} J_{ν}^{∗}(t)J_{ν}^{∗}(\overline{t})

と定義する。さらに、右辺の J_{ν}^{∗}(t) は 0 < t ∈ R のとき、

J_{ν}^{∗}(t) = J_{ν}(t) (\frac{t}{2})^{−ν}

となるものを t ∈ C になるように拡張した式である。

主定理において、 h(r) の条件は、 [Kuznecov, p.324-329] と同様に計算すれば、 h(r) ≪ ( 1+ | r | )^{−3−ε} のように緩められると予想される。

この定理 1.8 を証明している本論文は、以下のように構成されている。第 1 節において、これまでに得られていたクズネツォフ公式を説明し、本論文の主定理を述べる。第 2 節において、３次元上半空間や Poincaré 級数などの性質を述べる。第 3 節において、定理 1.8 の証明への準備と定理 1.8 の証明を述べる。

2 定義と性質

H^{3} に距離と体積要素を定義する。

定義 2.1 [Elstrodt etc., p.2 (1.4)] H^{3} における距離を^{\frac{( (dx_{1})^{2}+(dx_{2})^{2}+(dy)^{2} )^{\frac{1}{2}}}{y}} と定義する。

定義 2.2 [Elstrodt etc., p.2 (1.5)] H^{3} における体積要素 dμ(z) を\frac{dx_{1}dx_{2}dy}{y^{3}} と定義する。

H^{3} の各点からの写像を定義する。

定義 2.3 H^{3} の各点からの写像 T (H^{3}) を以下のように定義する。

T (H^{3}) := { z ↦ ( az +b )·( lz +h )^{−1} | ah−bl = 1 を満たすa, b, l, h ∈ C } .

この写像 T (H^{3}) を具体的に計算すると、以下のようになる。

補題 2.4

z = ( x, y ) ↦ ( \frac{( az + b )( \overline{lz + h} ) + a\overline{l}y^{2}}{| lx + h |^{2} + | ly |^{2}} , \frac{y}{| lx + h |^{2} + | ly |^{2}} ) .

写像 T (H^{3}) について、以下が成り立つ。補題 2.5 [Elstrodt etc., p.2,3]

T (H^{3}) ≅ SL( 2, C )/{±1} .

P SL( 2, C ) = SL( 2, C )/{±1} とおく。このとき、 H^{3} の距離、体積要素 dμ(z) と LaplacianΔ について、以下が成立する。補題 2.6 [Elstrodt etc., p.5 Prop.1.3, p.8 (1.21)] H^{3} の距離、体積要素 dμ(z) と LaplacianΔ は、 P SL( 2, C )− 不変である。 P SL( 2, Z[ω]) の H^{3} への作用について、以下が成立する。補題 2.7 [Elstrodt etc., p.34 Thm.1.2, p.311 Thm.1.1] P SL( 2, Z[ω]) は H^{3} に不連続に作用する。補題 2.7 より、 H^{3} に P SL( 2, Z[ω]) を作用させたときの基本領域を考える。まず、記号 B_{Q(\sqrt{3}i)}、 F_{Q(\sqrt{3}i)} と F を定義する。定義 2.8 [Elstrodt etc., p.318 Def.3.1]

B_{Q(\sqrt{3}i)} := \{ x + yȷ ∈ H^{3} |⟨ l, h ⟩ = Z[ω] となる∀l, ∀h ∈ Z[ω] で、| lx + h |^{2} + | ly |^{2}≥ 1 が成立。 \} ,
F_{Q(\sqrt{3}i)} := \{ x ∈ C | 0 ≤ Re x かつ\frac{\sqrt{3}}{3} Re x ≤ Im x かつ Im x ≤ \frac{\sqrt{3}}{3}( 1 − Re x ) \}

∪ \{x ∈ C | 0 ≤ Re x ≤ \frac{1}{2} かつ − \frac{\sqrt{3}}{3} Re x ≤ Im x ≤ \frac{\sqrt{3}}{3} Re x\} ,

F := \{ x + yȷ ∈ B_{Q(\sqrt{3}i)} | x ∈ F_{Q(\sqrt{3}i)} \} .

ただし、 B_{Q(\sqrt{3}i)} の定義に出てくる ⟨ l, h ⟩ は、 l と h が Z[ω] 上で張る空間を指す。この定義はここのみで使用する。このとき、これらの記号を用いると、以下が成立する。補題 2.9 [Elstrodt etc., p.319 Thm.3.4] F は H^{3} 上 P SL( 2, Z[ω] ) の基本領域である。基本領域 F の体積 | F | について、以下が成立する。補題 2.10 [Elstrodt etc., p.311,312 Thm.1.1]

| F |= \frac{3\sqrt{3}}{4π^{2}}ζ_{Q(\sqrt{3}i)}(2) < ∞ .

L^{2} 内積を定義するために、まず、 F 上の L^{2} 空間を以下のように定義する。定義 2.11 F 上の L^{2} 空間 L^{2}( F, dμ(z) ) を以下のように定義する。 L^{2}( F, dμ(z) ) := {f | H^{3}上 SL( 2, Z[ω]) − 不変、かつ∫_{F} | f |^{2} dμ(z) < ∞ } . L^{2} 内積を定義する。定義 2.12 f_{1}, f_{2} ∈ L^{2}( F, dμ(z) ) とする。このとき、内積 ⟨ f_{1}, f_{2} ⟩ を以下のように定義する。

⟨ f_{1}, f_{2} ⟩ := ∫_{F} f_{1}(z)\overline{f_{2}(z)} dμ(z) .

Eisenstein 級数を定義する。定義 2.13 Eisenstein 級数 E( z, s ) を以下のように定義する。

E( z, s ) := ∑_{γ∈Γ_{∞}\Γ} y^{s}( γ(z) ) .

但し、 s ∈ C である。 γ = ( \begin{matrix}a & b \\ l & h \end{matrix} ) ∈ Γ とし、 γ(z) := ( az +b )·( lz +h )^{−1} とおく。 x( γ(z) ) を γ(z) の x 成分とし、 y( γ(z) ) を γ(z) の y 成分とする。 cusp ∞ȷ での固定群 Γ_{∞} を

Γ_{∞} := { γ ∈ Γ | γ( ∞ȷ ) = ∞ȷ }

と定義する。固定群 Γ_{∞} を具体的に計算すると以下のようになる。補題 2.14

Γ_{∞} ≅ \{± ( \begin{matrix}1 & b_{1} \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , ± ( \begin{matrix}\overline{ω} & b_{2} \\ 0 & ω \end{matrix} ) , ± ( \begin{matrix}ω & b_{3} \\ 0 & \overline{ω} \end{matrix} ) , b_{1}, b_{2}, b_{3} ∈ Z[ω] \} / \{ ±1 \} .

Poincaré 級数を定義する。定義 2.15 Poincaré 級数 P_{m}( z, s ) を以下のように定義する。

P_{m}( z, s) := ∑_{γ∈Γ_{t}\Γ} y^{s}( γ(z) ) exp { −2π | m | y( γ(z) )+2πi[ m, x( γ(z) ) ] }

但し、 Γ_{t} を

Γ_{t} := { z ↦ z + b , b ∈ Z[ω] }

と定義する。 L^{2} 内積について、以下の Parseval 公式が成り立つ。補題 2.16 f_{1}, f_{2} ∈ L^{2}( F, dμ(z) ) のとき、

⟨ f_{1}, f_{2} ⟩ = ∑_{j=0}^{∞}⟨ f_{1}, ψ_{j} ⟩\overline{⟨ f_{2}, ψ_{j} ⟩} + \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} E( t, f_{1} )\overline{E( t, f_{2} )} dt .

但し、

ψ_{0} ≡ | F |^{− \frac{1}{2}} ,
E( t, f ) := ∫_{F} f(z)E( z, 1 − it ) dμ(z)

とする。

3 証明

3.1 Poincaré 級数の変形

Poincaré 級数は、以下のように変形できる。命題 3.1

P_{m}( z, s ) = y^{s} exp( −2π | m | y ) ∑_{ρ=1,ω,\overline{ω}} e^{2πi[ m,ρx ]}
+ \frac{1}{2}y^{2−s} ∑_{m_{2}∈Z[ω]^{∗}} e^{2πi[ m_{2},x ]} ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−2s} S( m, m_{2}; l )A_{s}( m, m_{2}; l; y ) .

但し、

η := η_{1} + η_{2}i .
A_{s}( m, m_{2}; l; y ) := ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞}( | η |^{2} +1 )^{−s}

× exp (−2πiy[ m_{2}, η ] − \frac{2π | m |}{| l |^{2} ( | η |^{2} +1 )y} − \frac{2πi[ l^{−2}, mη ]}{( | η |^{2} +1 )y}) dη_{1}dη_{2}

とする。証明 γ = ( \begin{matrix}a & b \\ l & h \end{matrix} ) とし、まず、 l = 0 のときを考える。

γ = ± ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) または、 γ = ± ( \begin{matrix}\overline{ω} & 0 \\ 0 & ω \end{matrix} ) または、 γ = ± ( \begin{matrix}ω & 0 \\ 0 & \overline{ω} \end{matrix} )

のいずれかである。 γ がこれらのとき、 {±1} を同一視することに注意して、 P_{m}( z, s ) を計算すると、

P_{m}( z, s ) = ∑_{γ ( 上記 )} y^{s}( γ(z) ) exp { −2π | m | y( γ(z) ) + 2πi[ m, x( γ(z) ) ] }
= y^{s} exp( −2π | m | y + 2πi[ m, x ] )

+y^{s} exp( −2π | m | y + 2πi[ m, ωx ] ) + y^{s} exp( −2π | m | y + 2πi[ m, \overline{ω}x ])

= y^{s} exp( −2π | m | y) ∑_{ρ=1,ω,\overline{ω}} e^{2πi[ m,ρx ]} .

次に l ≠ 0 のときを合わせて考える。

∑_{{γ∈Γ \atop l≠0}} = ∑_{l≠0 ; {ah−bl=1 \atop a,b,l,h∈Z[ω]}} = ∑_{l≠0 ; ( h,(l) )=(1) ; {h,l∈Z[ω] \atop bl=ah−1  }} = ∑_{0≠l∈Z[ω]} ∑_{( h,(l) )=(1) ; {h∈Z[ω] \atop ah≡1 mod (l)}}

より、

P_{m}( z, s ) =  y^{s} exp(−2π | m | y) ∑_{ρ=1,ω,\overline{ω}} e^{2πi[ m,ρx ]}

+\frac{1}{2}y^{s} ∑_{0≠l∈Z[ω]} ∑_{( h,(l) )=(1) ; {h∈Z[ω] \atop ah≡1 mod (l)}} ( | lx + h |^{2} + | ly |^{2})^{−s}

× exp (−\frac{2π | m | y}{| lx + h |^{2} + | ly |^{2}} + 2πi Re (\frac{\overline{m}a}{l} − \frac{\overline{m( lx + h )}}{l\{ | lx + h |^{2} + | ly |^{2} \}})) .

ここで、 h → h + m_{1}l ( m_{1} ∈ Z[ω] ) として変数変換しても、条件は保たれる。よって、

P_{m}( z, s )

= y^{s} exp( −2π | m | y ) ∑_{ρ=1,ω,\overline{ω}} e^{2πi[ m,ρx ]}

+\frac{1}{2} ∑_{0≠l∈Z} ∑_{h mod (l) ; ( h,(l) )=(1) ; {m_{1}∈Z[ω] \atop ah≡1 mod (l)}} ( | lx + h + m_{1}l |^{2} + | ly |^{2} )^{−s}

× exp (−\frac{2π | m | y}{| lx + h + m_{1}l |^{2} + | ly |^{2}} + 2πi Re ( \frac{\overline{m}a}{l} − \frac{\overline{m( lx + h + m_{1}l )}}{l\{ | lx + h + m_{1}l |^{2} + | ly |^{2} \}} ) ) .

ここで、 f_{m}( x; l, y, s ) を以下のように定義する。

f_{m}( x; l, y, s )

:= ∑_{m_{1}∈Z[ω]}( | x + m_{1} |^{2} +y^{2} )^{−s}

× exp ( \frac{1}{| l |^{2} ( | x + m_{1} |^{2} +y^{2} )} \{−2π | m | y − 2πi Re ( \frac{\overline{ml( x + m_{1} )}}{l} ) \} ) .

この f_{m} を用いると、

P_{m}( z, s ) = y^{s} exp( −2π | m | y ) ∑_{ρ=1,ω,\overline{ω}} e^{2πi[ m,ρx ]}

+\frac{1}{2} ∑_{0≠l∈Z[ω]} \frac{1}{| l |^{2s}} ∑_{h mod (l) ; {( h,(l) )=(1) \atop ah≡1 mod (l)}} e^{2πi[ m, \frac{a}{l} ]}f_{m}( x + \frac{h}{l}; l, y, s )

となる。ここで、以下が成立する。

補題 3.2 f_{m}( x; l, y, s ) は Re s > \frac{3}{2} で絶対収束する。

f_{m} は周期 1, ω の関数であるので、 f_{m} ∈ C^{∞}( C ) となる。そこで、 f_{m} の Fourier 展開を考える。

f_{m}( x; l, y, s ) = ∑_{m_{2}∈Z[ω]^{∗}} B_{m}( m_{2}; l, y, s ) exp( 2πi[ m_{2}, x ] )

とおき、 f_{m} の Fourier 係数 B_{m}( m_{2}; l, y, s ) を考える。

B_{m}( m_{2}; l, y, s ) = ∫_{[ 0,1 ]×[ 0,ω ]} e^{−2πi[ m_{2},ξ ]}f_{m}( ξ; l, y, s ) dξ
= ∫_{[ 0,1 ]×[ 0,ω ]} e^{−2πi[ m_{2},ξ ]} ∑_{m_{1}∈Z[ω]}( | ξ + m_{1} |^{2} +y^{2} )^{−s}

× exp ( \frac{−2π}{| l |^{2} ( | ξ + m_{1} |^{2} +y^{2} )} \{| m | y + i Re ( \frac{\overline{ml( ξ + m_{1} )}}{l} ) \} ) dξ .

但し、 m′_{1}, m′_{2} ∈ Z のとき、

ξ := ξ_{1} + ξ_{2}ω ,
η := η_{1} + η_{2}ω ,
m_{1} := m′_{1} + m′_{2}ω

とする。 ξ → ηy − m_{1} ( 変数変換 ) すると、

B_{m}( m_{2}; l, y, s ) = ∫_{[ ^{\frac{m′_{1}}{y}} ,^{\frac{m′_{1}+1}{y}} ]×[ ^{\frac{m′_{2}ω}{y}} ,^{\frac{( m′_{2}+1 )ω}{y}} ]} e^{−2πi[ m_{2},ηy−m_{1} ]} ∑_{m_{1}∈Z[ω]}( | ηy |^{2} +y^{2} )^{−s}

× exp ( \frac{−2π}{| l |^{2} ( | ηy |^{2} +y^{2} )} \{| m | y + i Re ( \frac{\overline{ml( ηy )}}{l} ) \} ) y^{2} dη_{1}dη_{2} .

m_{1} を決めると、積分の範囲が定まり、 m′_{1}, m′_{2} を決めると、 m_{1} が定まるので、和と積分の交換が可能である。よって、

= ∑_{m_{1}∈Z[ω]} ∫_{[ ^{\frac{m′_{1}}{y}} ,^{\frac{m′_{1}+1}{y}} ]×[ ^{\frac{m′_{2}ω}{y}} ,^{\frac{( m′_{2}+1 )ω}{y}} ]} y^{2−2s}( | η |^{2} +1 )^{−s}

× exp ( −2πi[ m_{2}, ηy ] + 2πi[ m_{1}, m_{2} ] − \frac{2π | m |}{| l |^{2} ( | η |^{2} +1 )y} − \frac{2πi[ l^{−2}, mη ]}{( | η |^{2} +1 )y}) dη_{1}dη_{2} .

m_{2} ∈ Z[ω]^{∗} なので、その性質から exp( 2πi[ m_{1}, m_{2} ] ) = 1 となることと、和と積分によって全平面を渡ることに注意すると、

f_{m}( x; l, y, s ) = ∑_{m_{2}∈Z[ω]^{∗}} exp( 2πi[ m_{2}, x ] ) ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} y^{2−2s}( | η |^{2} +1 )^{−s}

× exp ( −2πiy[ m_{2}, η ] − \frac{2π | m |}{| l |^{2} ( | η |^{2} +1 )y} − \frac{2πi[ l^{−2}, mη ]}{( | η |^{2} +1 )y}) dη_{1}dη_{2} .

P_{m}( z, s ) = y^{s} exp( −2π | m | y ) ∑_{ρ=1,ω,\overline{ω}} e^{2πi[ m,ρx ]}

+\frac{1}{2}y^{2−s} ∑_{0≠l∈Z[ω]} \frac{1}{| l |^{2s}}

× ∑_{h mod (l) ; {( h,(l) )=(1) \atop ah≡1 mod (l)}} e^{2πi[ m, \frac{a}{l} ]} ∑_{m_{2}∈Z[ω]^{∗}} e^{2πi[ m_{2},x+ \frac{h}{l} ]}A_{s}( m, m_{2}; l; y ) .  (1)

このとき、式 (1) において、以下が成り立つ。補題 3.3 式 (1) において、和の順序は交換可能である。また、 Kloosterman 和について、以下が成り立つ。補題 3.4 m, m_{2} ∈ Z[ω]^{∗}, l ∈ Z[ω] のとき、

S( m_{2}, m; l ) = S( m, m_{2}; l ) .

補題 3.3 と補題 3.4 により、

P_{m}( z, s ) = y^{s} exp( −2π | m | y ) ∑_{ρ=1,ω,\overline{ω}} e^{2πi[ m,ρx ]}

+\frac{1}{2}y^{2−s} ∑_{m_{2}∈Z[ω]^{∗}} e^{2πi[ m_{2},x ]}

× ∑_{0≠l∈Z[ω]} \frac{1}{| l |^{2s}} ∑_{h mod (l) ; {( h,(l) )=(1) \atop ha≡1 mod (l)}} e^{2πi[ m_{2}, \frac{h}{l} ]}e^{2πi[ m, \frac{a}{l} ]}A_{s}( m, m_{2}; l; y )

= y^{s} exp( −2π | m | y ) ∑_{ρ=1,ω,\overline{ω}} e^{2πi[ m,ρx ]}

+\frac{1}{2}y^{2−s} ∑_{m_{2}∈Z[ω]^{∗}} e^{2πi[ m_{2},x ]}

× ∑_{0≠l∈Z[ω]} \frac{1}{| l |^{2s}} S( m, m_{2}; l )A_{s}( m, m_{2}; l; y ) .

よって、命題 3.1 が示された。補題 3.2 を示す。証明

| f_{m} | = ∑_{m_{1}∈Z[ω]}( | x + m_{1} |^{2} +y^{2} )^{− Re s} \underbrace{| exp (\frac{−2π | m | y}{| l |^{2} ( | x + m_{1} |^{2} +y^{2} )}) |}_{�}

× \underbrace{| exp (\frac{−2πi Re (\frac{\overline{ml( x+m_{1} )}}{l})}{| l |^{2} ( | x + m_{1} |^{2} +y^{2} )}) |}_{�} .

� ≤ 1 であり、� = 1 だから、

| f_{m} | ≪ ∑_{m_{1}∈Z[ω]} \frac{1}{| m_{1} |^{2 Re s}}
≤ ∑_{p=1}^{∞} ∑_{{a^{2}+b^{2}−ab=p \atop a,b∈Z[ω]}} \frac{4\sqrt{p}}{( a^{2} + b^{2} − ab )^{Re s}}

≤ ∑_{p=1}^{∞} \frac{1}{p^{Re s− \frac{1}{2}}} .

Re s > \frac{3}{2} のとき、

| f_{m} | < ∞ .

よって、補題 3.2 が示された。

次に、補題 3.4 を示す。

証明左辺の和と右辺の和の取り方が等しいことを示す。

∑_{h mod (l) ; {( h,(l) )=(1) \atop ha≡1 mod (l)}} = ∑_{h mod (l) ; ( h,(l) )=(1) ; {a′ mod (l) \atop ha′≡1 mod (l)}} .

但し、 a′ := da”、 l := dl” かつ ( a”, l” ) = 1 とし、 l′, l_{1} ∈ Z[ω] とおく。このとき ha′ ≡ 1 mod (l) より、

ha′ = hda” = l_{1}l + 1 = dl_{1}l” + 1

となるから、

d( ha” − l_{1}l” ) = 1 .

よって、 d = 1 かつ ha” ≡ ha′ ≡ l_{1}l” ≡ 1 mod (l) であるから、 ( a′, (l) ) = (1) が成り立つ。ゆえに、

∑_{h mod (l) ( h,(l) )=(1) ; {a′ mod (l) \atop ha′≡1 mod (l)}} = ∑_{a′ mod (l) ( a′,(l) )=(1) ; ha′≡1 mod (l) ; {h mod (l) \atop ( h,(l) )=(1)}} = ∑_{a′ mod (l) ; {( a′,(l) )=(1) \atop a′h≡1 mod (l)}} .

m, m_{2} ∈ Z[ω]^{∗}, l, l_{1}, l′ ∈ Z[ω] に注意してまとめると、

S( m_{2}, m; l ) = ∑_{h mod (l) ; {( h,(l) )=(1) \atop ha≡1 mod (l)}} e ( [ m_{2}, \frac{h}{l} ] ) e ( [ m, \frac{a}{l} ] )
= ∑_{a′ mod (l) ; {( a′,(l) )=(1) \atop a′h≡1 mod (l)}} e ( [ m_{2}, \frac{h}{l} ] ) e ( [ m, \frac{a′ + ll′}{l} ] )
= ∑_{a′ mod (l) ; {( a′,(l) )=(1) \atop a′h≡1 mod (l)}} e ( [ m, \frac{a′}{l} ] ) e ( [ m_{2}, \frac{h}{l} ] ) = S( m, m_{2}; l ) .

よって、補題 3.4 が示された。補題 3.3 を示す準備をする。補題 3.5 m, m_{2} ∈ Z[ω]^{∗}, l ∈ Z[ω] とし、 Re s > 1 を満たす s ∈ C とする。

A_{s}( m, m_{2}; l; y ) ≪ exp( −2π | m_{2} | y ) .

証明

A_{s}( m, m_{2}; l; y ) = ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞}( | η |^{2} +1 )^{−s} exp ( −2πiy[ m_{2}, η ])

× exp ( −\frac{2π | m |}{| l |^{2} ( | η |^{2} +1 )y} ) exp ( −\frac{2πi[ l^{−2}, mη ]}{( | η |^{2} +1 )y}) dη_{1}dη_{2}

のうち、 exp (−\frac{2π|m|}{|l|^{2}( |η|^{2}+1 )y} ) ≤ 1 なので無視する。次に

| ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞}( | η |^{2} +1 )^{−s} dη_{1}dη_{2}|

を考える。極座標表示

η := re^{iθ} = η_{1} + η_{2}i ,
η_{1} = r cos θ ,
η_{2} = r sin θ

を用いて、評価すると、

| ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞}( | η |^{2} +1 )^{−s} dη_{1}dη_{2}| ≤ ∫_{0}^{2π} ∫_{0}^{∞} \frac{r}{( r^{2} + 1 )^{Re s}} drdθ
= 2π [\frac{1}{2( 1 − Re s )}( r^{2} + 1 )^{1−Re s}]_{0}^{∞} .

(2)

1 − Re s < 0 のとき、つまり Re s > 1 のとき、

(式 (2)) = \frac{π}{Re s − 1} .

次に、

| ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} exp ( −2πiy[ m_{2}, η ]) dη_{1}dη_{2}|

を考える。 m′_{2}, m”_{2}, η_{1}, η_{2} ∈ R とする。

m_{2} = m′_{2} + m”_{2}i ,
η = η_{1} + η_{2}i

とおく。 [ m_{2}, η ] = m′_{2}η_{1} + m”_{2}η_{2} を代入すると、

| ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} exp ( −2πiy[ m_{2}, η ]) dη_{1}dη_{2}| ≤ ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} |e^{−2πiym′_{2}η_{1}−2πiym”_{2}η_{2}} | dη_{1}dη_{2}
= ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} |e^{2πym′_{2}( −iη_{1} )+2πym”_{2}( −iη_{2} )}| dη_{1}dη_{2} .

(3)

このとき、

\begin{matrix}η_{1} & −∞ → ∞ \\ −iη_{1} & +i∞ → −∞ \end{matrix}

なので、 −iη_{1}, −iη_{2} に注目する。 Cauchy の積分定理より、

↓_{−i∞}^{+i∞} − ↓_{δ_{1}−i∞}^{δ_{1}+i∞}= 0

だから、

\begin{matrix}−iη_{1} & δ_{1} + i∞ → δ_{1} − i∞ \\ η_{1} & −∞ + iδ_{1} → ∞ + iδ_{1} \end{matrix}

とおく。このとき、 0 <| δ_{1} |< 1 とする。よって、 η_{1} を Im η_{1} = δ_{1} のとき、 Re η_{1} で −∞ → ∞ まで積分したのものとなる。ここで、 δ_{1} の範囲は、後の符号調節のために、 + と − を含むようにとる。また、 0 <| δ_{2} |< 1 とする。よって、 η_{2} も同様に、 Im η_{2} = δ_{2} のとき、 Re η_{2} で −∞ → ∞ まで積分したのものとなる。まとめると、

∫_{−∞}^{∞} ⋯ dη_{1} = ∫_{Im η_{1}=δ_{1}} ⋯ dη_{1} ,
∫_{−∞}^{∞} ⋯ dη_{2} = ∫_{Im η_{2}=δ_{2}} ⋯ dη_{2}

となる。よって、

(3) = ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} |e^{2πym′_{2}( −iη_{1} )}|e^{2πym”_{2}η_{2}( −iη_{2} )}| dη_{1}dη_{2}
= ∫_{Im η_{2}=δ_{2}} e^{2πym”_{2}δ_{2}} ∫_{Im η_{1}=δ_{1}} e^{2πym′_{2}δ_{1}} dη_{1}dη_{2} .  (4)

ここで、 δ_{1} を m′_{2}δ_{1} ≤ 0 となるように各 m′_{2} に対して、 δ_{1} を定める。同様に、 δ_{2} を m”_{2}δ_{2} ≤ 0 となるように各 m”_{2} に対して、 δ_{2} を定める。そこで、 | δ_{1} |→ 1, | δ_{2} |→ 1 とすると、

(式 (4)) = ∫_{Im η_{2}=δ_{2}} e^{−2πy|m”_{2}δ_{2}|} ∫_{Im η_{1}=δ_{1}} e^{−2πy|m′_{2}δ_{1}|} dη_{1}dη_{2}
= e^{−2πy( |m”_{2}|+|m′_{2}| )} ∫_{Im η_{2}={ 1 or −1 }} ∫_{Im η_{1}={ 1 or −1 }} dη_{1}dη_{2}

(5)

となる。さらに、 Cauchy の積分定理より、

(式 (5)) = e^{−2πy( |m′_{2}|+|m”_{2}| )} ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} dη_{1}dη_{2}  (6)

となる。ここで、 | m′_{2} | + | m”_{2} |>| m′_{2} + m”_{2}i |=| m_{2} | ( 三角不等式 ) を用いると、

(式 (6)) = e^{−2πy( |m′_{2}|+|m”_{2}| )} < e^{−2π|m_{2}|y}

となる。次に、

| ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} e^{− \frac{2πi[ l^{−2},mη ]}{( |η|^{2}+1 )y}} dη_{1}dη_{2}|

を考える。

l_{1} := l_{1} + l_{2}i ,
m := m′ + m”i ,
η := η_{1} + η_{2}i

とおく。このとき、

[ l^{−2}, mη ] = \frac{1}{| l |^{4}} \{ \underbrace{[ ( l_{1}^{2} − l_{2}^{2} )m′ − 2m”l_{1}l_{2} ]}_{�}η_{1}−\underbrace{[ ( l_{1}^{2} − l_{2}^{2} )m” + 2m′l_{1}l_{2} ]}_{�}η_{2}\} .

であるから、

| ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} e^{− \frac{2πi[ l^{−2},mη ]}{( |η|+1 )y}} dη_{1}dη_{2}|
≤ ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} |e^{\frac{2π� ( −iη_{1} )}{|l|^{4}( |η|^{2}+1 )y}} ||e^{− \frac{2π� ( −iη_{2} )}{|l|^{4}( |η|^{2}+1 )y}} | dη_{1}dη_{2}  (7)

となる。前述と同様に評価する。 δ_{1} と δ_{2} を新たに取り直すと、

(式 (7)) = ∫_{Im η_{2}=δ_{2}} e^{− \frac{2π�δ_{2}}{|l|^{4}( |η|^{2}+1 )y}} ∫_{Im η_{1}=δ_{1}} e^{\frac{2π�δ_{1}}{|l|^{4}( |η|^{2}+1 )y}} dη_{1}dη_{2} (8)

となる。� δ_{1} ≤ 0 となるように、 δ_{1} を決める。また、� δ_{2} ≥ 0 となるように、 δ_{2} を決める。すると、

(式 (8)) = ∫_{Im η_{2}=δ_{2}} e^{− \frac{2π| �δ_{2}|}{|l|^{4}( |η|^{2}+1 )y}} ∫_{Im η_{1}=δ_{1}} e^{− \frac{2π| �δ_{1}|}{|l|^{4}( |η|^{2}+1 )y}} dη_{1}dη_{2} (9)

となる。ここで、 | δ_{1} |→ 1, | δ_{2} |→ 1 とすると、

(式 (9)) = ∫_{Im η_{2}=\{ 1 or −1 \}} ∫_{Im η_{1}=\{ 1 or −1 \}} e\underbrace{−\frac{2π( | � | + | � | )}{| l |^{4} ( | η |^{2} +1 )y}}_{�} dη_{1}dη_{2}

(10)

なる。 Cauchy の積分定理と� ≤ 0 より、

(式 (10)) ≤ ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} dη_{1}dη_{2} .

すべてを合わせると、

|A_{s}( m, m_{2}; l; y )| < \frac{π}{Re s − 1}e^{−2π|m_{2}|y}

となる。よって、

A_{s}( m, m_{2}; l; y ) ≪ e^{−2π|m_{2}|y} .

但し、 Re s > 1 であり、無視できる定数倍の部分は、 m, m_{2}, l, y に依らない。よって、補題 3.5 が示された。

補題 3.3 を示す。

証明後は、

\frac{1}{2}y^{2−s} ∑_{0≠l∈Z[ω]} \frac{1}{| l |^{2s}} ∑_{h mod (l) ; {( h,(l) )=(1) \atop ah≡1 mod (l)}} e^{2πi[ m, \frac{a}{l} ]} ∑_{m_{2}Z[ω]^{∗}} e^{2πi[ m_{2},x+ \frac{h}{l} ]}A_{s}( m, m_{2}; l; y )

か、和の順序交換をして変形した式

\frac{1}{2}y^{2−s} ∑_{m_{2}Z[ω]^{∗}} e^{2πi[ m_{2},x ]} ∑_{0≠l∈Z[ω]} \frac{1}{| l |^{2s}} S( m, m_{2}; l )A_{s}( m, m_{2}; l; y ) (11)

の絶対収束を示せばよい。後者を示す。

補題 3.6 [Sarnak, p.268 (3.9)]

S( m, m_{2}; l ) ≪| l || ( m, m_{2}, l ) | σ_{0}(l) .

補題 3.7 [三井, p.23、定理 1.6.4][長谷川, p.71、定理２] ∀ε > 0 に対して、

σ_{0}(l) = O(N(l)^{ε}) .

また、 n ∈ Z[ω]^{∗} のとき、 ∀ε > 0 に対して、

σ′_{0}(n) = O(| n |^{ε}) .

補題 3.5、補題 3.6 と補題 3.7 を用いる。 z と m を固定する。

| (式 (11)) | ≤ \frac{1}{2}y^{2−Re s} ∑_{m_{2}∈Z[ω]^{∗}} \frac{| e^{2πi[ m_{2},x ]} |}{e^{2π|m_{2}|y}} ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−2 Re s} |S( m, m_{2}; l )|

≪ \underbrace{∑_{m_{2}∈Z[ω]^{∗}} \frac{| m_{2} |}{e^{|m_{2}|y}}}_{�}\underbrace{∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{1−2 Re s} σ_{0}(l)}_{�} .

� ≤ ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} \frac{| m_{2} |}{e^{|m_{2}|y}} dm′_{2}dm”_{2} .  (12)

| m_{2} |= re^{iθ} とすると、

(式 (12)) = ∫_{0}^{2π} \underbrace{∫_{−∞}^{∞} \frac{r^{2}}{e^{−ry}} dr}_{�}dθ ,  (13)

� = [r^{2} (−\frac{1}{y} e^{−ry})]_{0}^{∞} − ∫_{0}^{∞} 2r (−\frac{1}{y} e^{−ry}) dr
= \frac{2}{y} ∫_{0}^{∞} re^{−ry} dr
= \frac{2}{y} \{[r (−\frac{1}{y} e^{−ry})]_{0}^{∞} − ∫_{0}^{∞} −\frac{1}{y} e^{−ry} dr\}
= \frac{2}{y^{2}} ∫_{0}^{∞} e^{−ry} dr
= \frac{2}{y^{2}} [−\frac{1}{y} e^{−ry}]_{0}^{∞}
= \frac{2}{y^{3}} .

よって、

(式 (13)) = \frac{4π}{y^{3}} < ∞

となる。

� ≪ ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{1−2 Re s+2ε}

≤ 6 + ∫_{0}^{2π} ∫_{1}^{∞} r^{2+2ε−2 Re s} drdθ
≪ 2π ∫_{1}^{∞} r^{2−2 Re s+2ε} dr
= 2π [\frac{1}{3 − 2 Re s + 2ε}r^{3−2 Re s+2ε}]_{1}^{∞}

となり、 3 − 2 Re s + 2ε < 0 つまり、 Re s > \frac{3}{2} + ε のとき、

� ≪ \frac{2π}{2 Re s − 3 − 2ε} < ∞

であるから、 ∀ε > 0 より、 ε → 0 とすると、 Re s > \frac{3}{2} で式 (11) は絶対収束する。よって、補題 3.3 は示された。

3.2 Poincaré 級数や Eisenstein 級数の性質

補題 3.8 P_{m}( z, s ) は Re s > \frac{3}{2} で絶対収束し、存在する。

証明補題 3.3 の証明において、

P_{m}( z, s ) = y^{s} exp( −2π | m | y ) ∑_{ρ=1,ω,\overline{ω}} e^{2πi[ m,ρx ]}

+\frac{1}{2}y^{2−s} ∑_{m_{2}∈Z[ω]^{∗}} e^{2πi[ m_{2},x ]} ∑_{0≠l∈Z[ω]} \frac{1}{| l |^{2s}} S( m, m_{2}; l )A_{s}( m, m_{2}; l; y ) .

P_{m}( z, s ) の右辺の第２項目が Re s > \frac{3}{2} で絶対収束していることがわかっている。第１項目については、 z, m を固定すると、 y が 0 の近くや ∞ の近くであっても、

|y^{s}e^{−2π|m|y} ∑_{ρ=1,ω,\overline{ω}} e^{2πi[ m,ρx ]}| ≤ 3\frac{y^{Re s}}{e^{2π|m|y}} < ∞

となる。よって、補題 3.8 は示された。

補題 3.9 [Sarnak, p.257-p.259] E( z, s ) は、 Re s > 2 で絶対収束する。

補題 3.10 Re s > 2 のとき、

|P_{m}( z, s )| ≤ 3E( z, Re s) .

証明

|P_{m}( z, s )| ≤ ∑_{γ∈Γ_{t}\Γ} |y^{s}( γ(z) )||e^{−2π|m|y( γ(z) )+2πi[ m,x( γ(z) ) ]}|
= ∑_{γ∈Γ_{t}\Γ} y^{Re s}( γ(z) )
= 3 ∑_{γ∈Γ_{∞}\Γ} y^{Re s}( γ(z) ) .

補題 3.9 より、 Re s > 2 で考える。よって、補題 3.10 は示された。

補題 3.11

E( z, s ) = \frac{1}{6} ∑_{{l,h∈Z[ω] \atop ( l,h )=(1)}} \frac{y^{s}}{( | lx + h |^{2} + | ly |^{2} )^{s}} .

証明 γ = ( \begin{matrix}a & b \\ l & h \end{matrix} ) ∈ Γ とおき、 Γ_{∞} の性質を示した補題 2.14 に注意すると、

∑_{γ∈Γ_{∞}\Γ} y^{s}( γ(z) ) = \frac{1}{6} ∑_{{l,h∈Z[ω] \atop ( l,h )=(1)}} \frac{y^{s}}{( | lx + h |^{2} + | ly |^{2} )^{s}} .

よって、補題 3.11 が示された。補題 3.12

E( z, s ) = \frac{1}{3}P_{0}( z, s ) .

証明

P_{0}( z, s ) = ∑_{γ∈Γ_{t}\Γ} y^{s}( γ(z) )e^{−2π|0|y( γ(z) )+2πi[ 0,x( γ(z) ) ]}
= ∑_{γ∈Γ_{t}\Γ} y^{s}( γ(z) ) .  (14)

補題 2.14 より、

(式 (14)) = 3 ∑_{γ∈Γ_{∞}\Γ} y^{s}( γ(z) ) = 3E( z, s ) .

よって、補題 3.12 が示された。補題 3.13 P_{m}( z, s ) は SL( 2, Z[ω] )− 不変である。

証明 Γ ∋ ∀γ = ( \begin{matrix}a & b \\ l & h \end{matrix} ) とし、 Γ_{t} ∋ ∀γ_{t} = ± ( \begin{matrix}1 & b_{1} \\ 0 & 1 \end{matrix} ) かつ b_{1} ∈ Z[ω]

とおくと、

γ_{t}( γ(z) ) = γ(z) + b ,
x( γ(z) ) = x( γ( γ(z) ) ) ,
y( γ(z) ) = y( γ_{t}( γ(z) ) )

であり、 m ∈ Z[ω]^{∗}, b ∈ Z[ω] より、 [ m, b ] ∈ Z となることから、

e^{2πi( [ m,γ(z) ]+[ m,b ] )} = e^{2πi[ m,γ(z) ]}

となる。これらから、 γ → γ_{t}γ で P_{m}( z, s )− 不変となる。よって、 Γ_{t}\Γ のどの代表系をとってもよい。 ∀γ′ ∈ Γ に対して、

P_{m}( γ′(z), s) = ∑_{γ∈Γ_{t}\Γ} y^{s} ( γ ( γ′(z) ) ) e^{−2π|m|y( γ( γ′(z) ) )+2πi[ m,x( γ( γ′(z) ) ) ]}

(15)

となるが、 Γ_{t}γγ′ から代表系をとってもいいので、 γ” := γγ′ とおくと、

(式 (15)) = ∑_{γ”∈Γ_{t}\Γ} y^{s}( γ”(z) )e^{−2π|m|y( γ”(z) )+2πi[ m,x( γ”(z) ) ]}
= P_{m}( z, s ) .

よって、補題 3.13 が示された。補題 3.14 E( z, s ) は SL( 2, Z[ω] )− 不変である。証明補題 3.13 と同様に計算し、代表系を取り直せばよい。よって、補題 3.14 が示された。

3.3 Eisenstein 級数の変形

まず、変形の準備をする。補題 3.15 Re s > 1 に対して、

A_{s}( 0, n; l; y ) = \{ \begin{matrix}\frac{π}{s−1} & n = 0 のとき , \\ \frac{2π^{s}|ny|^{s−1}K_{s−1}( 2π|n|y )}{Γ(s)} & n ≠ 0 のとき . \end{matrix}

証明 n ≠ 0 のときを考える。

A_{s}( 0, n; l; y ) = ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{( | η |^{2} +1 )^{s}} exp( −2πiy[ n, η ] ) dη_{1}dη_{2} .

η := re^{iθ} と変数変換し、 n := n_{1} + n_{2}i ∈ Z[ω] とおくと、

A_{s}( 0, n; l; y ) = ∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{2π} \frac{r}{( r^{2} + 1 )^{s}} e^{−2πiy[ n,r( cos θ+i sin θ ) ]} dθdr
= ∫_{0}^{∞} \frac{r}{( r^{2} + 1 )^{s}} ∫_{0}^{2π} \underbrace{e^{i( −2πyn_{1}r cos θ−2πyn_{2} sin θ )}}_{�} dθdr .

(16)

�について考える。

� = ∫_{0}^{2π} e^{i( −2πy|n|r\{_{\frac{n_{1}}{\sqrt{n^{2}_{1}+n^{2}_{2}}}} cos θ+_{\frac{n_{2}}{\sqrt{n^{2}_{1}+n^{2}_{2}}}} sin θ\} )} dθ  (17)

となる。ここで、

cos θ_{1} := \frac{n_{1}}{\sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2}}} ,
sin θ_{1} := \frac{n_{2}}{\sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2}}}

とおくと、

(式 (17)) = ∫_{0}^{2π} e^{i( −2πy|n|r cos( θ−θ_{1} )} dθ .  (18)

\frac{π}{2} − θ_{2} := θ − θ_{1} と変数変換すると、

\begin{matrix}θ & 0 → 2π \\ θ_{2} & \frac{π}{2} + θ_{1} → −\frac{3}{2}π + θ_{1} \end{matrix}

となる。よって、

(式 (18)) = ∫_{\frac{π}{2} +θ_{1}}^{− \frac{3}{2} π+θ_{1}} e^{i( −2πy|n|r cos( \frac{π}{2} −θ_{2} ) )} (−dθ_{2})
= ∫_{− \frac{3}{2} π+θ_{1}}^{\frac{π}{2} +θ_{1}} e^{i( −2πy|n|r sin θ_{2} )} dθ_{2} .  (19)

α := −\frac{3}{2}π + θ_{1} とすると、

(式 (19)) = ∫_{α}^{2π+α} e^{i( 0·θ−2πy|n|r sin θ_{2} )} dθ_{2} .  (20)

ここで、補題 3.16 [数学公式�, p.178] 0 ≤ n ∈ Z のとき、

J_{n}(z) = \frac{1}{2π} ∫_{α}^{2π+α} e^{i( nθ−z sin θ )} dθ .

補題 3.16 を用いると、

(式 (20)) = 2πJ_{0}( 2πy | n | r )

となり、式 (16) に式 (20) を代入すると、

(式 (16)) = ∫_{0}^{∞} \frac{2πrJ_{0}( 2πy | n | r )}{( r^{2} + 1 )^{s}} dr  (21)

となる。ここで、 Bessel 関数について、以下の式が成立する。補題 3.17 [Erdélyi etc., p.96 (59)] 2 Re μ + \frac{3}{2} > Re ν > −1 のとき、

∫_{0}^{∞} \frac{x^{ν+1}J_{ν}( ax )}{( x^{2} + y^{2} )^{μ+1}} dx = \frac{a^{μ}y^{ν−μ}K_{ν−μ}( ay )}{2^{μ}Γ( μ + 1 )} .

補題 3.18 [Erdélyi etc., p.5 (14)] K_{−ν}(z) = K_{ν}(z) .

補題 3.17 と補題 3.18 を用いる。 ν = 0、 μ+1 = s、 x = r、 y = 1、 a = 2πy | n | とおくと、 Re s > 1 より、

2 Re μ + \frac{3}{2} > \frac{3}{2} > Re ν = 0 > −1

となり、補題 3.17 の条件は満たされる。よって、補題 3.18 に注意すると、

(式 (21)) = \frac{2π^{s}( y | n | )^{s−1}K_{s−1}( 2π | n | y )}{Γ(s)}

となる。次に、 n = 0 のときを考える。

A_{s}( 0, 0; l; y ) = ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{( | η |^{2} +1 )^{s}} dη_{1}dη_{2} .  (22)

補題 3.5 の証明で用いた式から、

(式 (22)) = \frac{π}{s − 1} .

よって、補題 3.15 が示された。

ここで、 Z[ω] について、まず確認する。

補題 3.19 Z[ω] は単項イデアル整域である。

これはよく知られた事実である。

補題 3.20 Z[ω] の単元群は、 \{±1, ±ω, ±\overline{ω}\} である。

証明 ab = 1 を満たす a, b ∈ Z[ω] の組は、

( a, b ) = ( ±1, ∓1 ) = ( ±ω, ∓\overline{ω} ) = ( ±\overline{ω}, ∓ω ) .

よって、補題 3.20 が示された。

補題 3.21 Z[ω] の元をイデアルで考えると、同一視できるイデアルは６個である。

証明 Z[ω] の単元群の位数は６である。よって、補題 3.21 が示された。

次に、イデアルについて確認する。

定義 3.22 [高木, p.306] M をイデアル、 α と β を Z[ω] とする。

α ≡ β mod M であることと、 α − β が M で割り切れる（含まれる）ことは同値である。

イデアル A と B の公約イデアルであることと、イデアル A と B を共に割り切る（含む）イデアルであることは同値である。

( A, B ) = (1) であることと、イデアル A と B の最大公約イデアルがイデアル (1) であることは同値である。

関数が乗法的であるということを定義する。

定義 3.23 f: Z[ω] → C とし、 A と B をイデアルとする。 f が乗法的であることは、

\{ \begin{matrix}(�) & f( (1) ) = 1 , \\ かつ \\ (�) & f( AB ) = f(A)f(B) ( A, B ) = (1) のとき \end{matrix}

を満たすことと同値である。

これらの言葉を用いると、以下の命題 3.24 が成立する。

命題 3.24 f: Z[ω] → C は、乗法的であり、

f ( (n) ) = O( | n |^{α} )

を満たすとする。 N ( (n) ) を (n) のノルムとし、 0 < ∀ε とする。このとき、 Re s > \frac{α}{2} + 1 + ε であるような、 s ∈ C に対して、 (p) が (n) の異なる素イデアルをわたるとすると、

(1) ∑_{(0)≠(n) ⊂ Z[ω]} \frac{f ( (n) )}{N ( (n) )^{s}} は広義一様絶対収束する。
(2) ∑_{(0)≠(n) ⊂ Z[ω]} \frac{f ( (n) )}{N ( (n) )^{s}} = ∏_{(p)} (∑_{δ=0}^{∞} \frac{f ( (p)^{δ} )}{N ( (p)^{δ} )^{s}} )

が成立し、 (2) の右辺の無限積も広義一様絶対収束する。

証明 (1) について考える。

補題 3.25 [高木, p.282-283]

N( AB ) = N(A)N(B) , ( A, B : ideal ) .
N( (n) ) = | n |^{2} .

補題 3.25 を用いる。 M を 0 < M ∈ R を満たす定数とする。

|\frac{f ( (n) )}{N ( (n) )^{s}} | ≤ M \frac{| n |^{α}}{| n |^{2 Re s}} = M | n |^{α−2 Re s} .

α − 2 Re s < −2 − 2ε より、

∑_{(0)≠(n) ⊂ Z[ω]} |\frac{f ( (n) )}{N ( (n) )^{s}} | ≤ M ∑_{(0)≠(n) ⊂ Z[ω]} \frac{1}{| n |^{−2−2ε}}
≤ 6 + ∫_{0}^{2π} ∫_{1}^{∞} r^{−2−2ε} · r drdθ
= 6 + 2π [\frac{1}{−2ε}r^{−2ε}]_{1}^{∞} < ∞ .

次に、 (2) を考える。

F (s) := ∑_{(0)≠(n) ⊂ Z[ω]} \frac{f ( (n) )}{N ( (n) )^{s}} ,
G_{p}(s) := ∑_{δ=0}^{∞} \frac{f ( (p)^{δ} )}{N ( (p)^{δ} )^{s}}

とおく。すると、 G_{p}(s) は F (s) の部分和なので、 (1) より、広義一様絶対収束する。 (N) ⊂ Z[ω] とする。また、 1 ≤ r ∈ Z とし、 (N) = (P_{1})^{a_{1}} ⋯ (P_{r})^{a_{r}} とする。補題 3.25 より、

∏_{(p)⊇(N)} G_{p}(s) = ∑_{a_{1},···,a_{r}=0}^{∞} \frac{f ( (P_{1})^{a_{1}} ⋯ (P_{r})^{a_{r}} )}{N ( ( P_{1} )^{a_{1}} ⋯ ( P_{r} )^{a_{r}} )^{s}} .

r < k ∈ Z とする。

F (s) − ∏_{(p)⊇(N)} G_{p}(s) = ∑_{{0≠(n)⊂Z[ω] \atop (P_{k})⊃(n)}} \frac{f ( (n) )}{N ( (n) )^{s}} .  (23)

ここで、 N → ∞ とすると、 (p) ⊇ (N) となる素イデアルはすべての素イデアルになるので、 (式 (23)) = 0 となる。よって、

F (s) = ∏_{(p)} G_{p}(s) .

後は、無限積が広義一様絶対収束であることを示せばよい。 H_{p}(s) := 1−G_{p}(s) とおく。

補題 3.26 [田村, p.139 補助定理１． ]

∏_{(p)} G_{p}(s) が広義一様絶対収束することと、∑_{(p)⊂Z[ω]} H_{p}(s) が広義一様絶対収束することは同値である。

補題 3.26 を用いると、 (1) と同様に、

∑_{(p)⊂Z[ω]} |H_{p}(s)| ≤ ∑_{(0)≠(n)∈Z[ω]} |\frac{f ( (n) )}{N ( (n) )^{s}} | < ∞

となる。よって、命題 3.24 が示された。次に、 Φ を定義し、 Φ について考える。定義 3.27 M をイデアルとする。このとき、

Φ(M) := ♯ ( Z[ω]/M )^{×}

と定義する。補題 3.28 [高木, p.307-309] A、 B と M をイデアルとし、 P を M の異なる素イデアルをわたるとする。このとき、 Φ(M) は乗法的であり、さらに、以下が成り立つ。

Φ( AB ) = Φ(A)Φ(B) .
Φ(M) = N(M) ∏_{P} ( 1 − \frac{1}{N(P)} ) .

イデアルで mod をとったとき、その個数について、以下が成り立つ。補題 3.29 [高木, p.306-307] M をイデアルとおく。このとき、

∑_{A mod M} 1 = N(M)

が成り立つ。次に、 Ramanujan 和を定義する。定義 3.30 l ∈ Z[ω]、 n ∈ Z[ω]^{∗} とする。このとき、 Ramanujan 和 c_{l}(n) を以下のように定義する。

c_{l}( n ) := ∑_{{h mod (l) \atop ( h,(l) )=(1)}} e^{2πi[ n, \frac{h}{l} ]} .

次に、 Möbius 関数を定義する。定義 3.31 l ∈ Z[ω] とする。 1 ≤ i ≤ k ∈ Z のとき、 (p) と P_{i} を素イデアルとする。このとき、 Möbius 関数 μ ( (l) ) を以下のように定義する。

μ ( (l) ) := \{ \begin{matrix}1 & (l) = (1) \\ 0 & (p)^{2} ⊃ (l) \\ (−1)^{k} & (l) = P_{1} ⋯ P_{k} \end{matrix} .

Ramanujan 和について考えていく。補題 3.32 k ∈ Z[ω]、 n ∈ Z[ω]^{∗} とする。このとき、

η_{k}(n) := ∑_{h mod (k)} e^{2πi[ n, \frac{h}{k} ]}

とおく。すると、

η_{k}(n) = \{ \begin{matrix}N ( (k) ) & \frac{n}{\overline{k}} ∈ Z[ω]^{∗}のとき , \\ 0 & その他のとき. \end{matrix}

証明補題 3.33 [高木, p.278-280] A をイデアルとする。このとき、

A = [ a, b + cω ]

とおける。但し、 a は、 0 < a であり、かつ A に含まれる最小有理整数、 b は、 0 ≤ b < a を満たす有理整数、 c は、 0 < c であり、かつ A の各数に共通な最大の有理約数である。

補題 3.33 を用いると、 (k) = [ a, b + cω ] とおけ、 0 ≤ x_{0} < a、 0 ≤ y_{0} < c とすると、 h ≡ x_{0} + y_{0}ω mod (k) とおける。よって、

η_{k}(n) = ∑_{x_{0}}^{a−1} ∑_{y_{0}}^{c−1} e^{2πi(Re \frac{\overline{n}( x_{0}+y_{0}ω )}{k} )}
= ∑_{x_{0}}^{a−1} e^{2πi( Re \frac{\overline{n}}{k} )x_{0}} ∑_{y_{0}}^{c−1} e^{2πi( Re \frac{\overline{n}}{k} ω )y_{0}} .  (24)

このとき、 Re \frac{\overline{n}}{k} と Re \frac{\overline{n}}{k}ω が共に整数でないときを考える。

(式 (24)) = \frac{1 − e^{2πi( Re \frac{\overline{n}}{k} )a}}{1 − e^{2πi( Re \frac{\overline{n}}{k} )}} · \frac{1 − e^{2πi( Re \frac{\overline{n}}{k} ω )c}}{1 − e^{2πi( Re \frac{\overline{n}}{k} ω )}} .  (25)

a ∈ (k) より、 a = kk_{1}, k_{1} ∈ Z[ω] とおける。このとき、 Re \frac{\overline{n}}{k}a = Re \overline{n}k_{1} = [ n, (k_{1}) ] であり、 n ∈ Z[ω]^{∗} と k_{1} ∈ Z[ω] から、 [ n, k_{1} ] ∈ Z となる。よって、

(25) = 0 · \frac{1 − e^{2πi( Re \frac{\overline{n}}{k} ω )c}}{1 − e^{2πi( Re \frac{\overline{n}}{k} ω )}} = 0 .

次に、 Re \frac{\overline{n}}{k} と Re \frac{\overline{n}}{k}ω が共に整数であるときを考える。このとき、 [ \frac{n}{\overline{k}}, 1 ] ∈ Z かつ [ \frac{n}{\overline{k}}, ω ] ∈ Z であるので、\frac{n}{\overline{k}} ∈ Z[ω]^{∗} となる。よって、 h ∈ Z[ω] より、

e^{2πi[ n, \frac{h}{k} ]} = 1

よって、補題 3.29 より、

η_{k}(n) = ∑_{h mod (k)} 1 = N ( (k) ) .

よって、補題 3.32 が示された。 η_{k}(n) と Ramanujan 和の関係を考える。

補題 3.34 k ∈ Z[ω]、 n ∈ Z[ω]^{∗} とする。このとき、

∑_{(d)⊃(k)} c_{d}(n) = η_{k}(n) .

証明まず、 n と k を固定する。 η_{k}(n) の定義から、

∑_{(d)⊃(k)} c_{d}(n) = ∑_{(d)⊃(k)} ∑_{{h mod (d) \atop ( h,(d) )=(1)}} e^{2πi[ n, \frac{h}{d} ]} .

ここで、 (k) := (d)(d_{1})、 h_{1} := hd_{1} とおく。 ( h, (d) ) = (1) と ( hd_{1}, (d)(d_{1}) ) = (d_{1}) と ( h_{1}, (k) ) = (d_{1}) は全て同値となる。補題 3.33 の条件を満たすような、 0 < d_{2} 、 0 < d_{4} と 0 ≤ d_{3} < d_{2} をとると、 (d) := [ d_{2}, d_{3} + d_{4}ω ] とおける。そこで、 0 ≤ x_{0} < d_{2} かつ 0 ≤ y_{0} < d_{4} とすると、 h mod (d) と x_{0}+y_{0}ω mod (d) は同値である。このことから、 ( dd_{1} ) = [ d_{1}d_{2}, d_{1}d_{3}+d_{1}d_{4}ω ] とおける。 0 ≤ x_{1} < d_{1}d_{2} かつ 0 ≤ y_{1} < d_{1}d_{4} とすると、 (h)(d_{1}) mod (d)(d_{1}) と x_{1} + y_{1}ω mod (d)(d_{1}) は同値となる。

e^{2πi[ n, \frac{h}{d} ]} = e^{2πi[ n, \frac{hd_{1}}{dd_{1}} ]}

なので、

∑_{(d)⊃(k)} ∑_{{h mod (d) \atop ( h,(d) )=(1)}} e^{2πi[ n, \frac{h}{d} ]} = ∑_{(d)⊃(k)} ∑_{{h_{1} mod (k) \atop ( h_{1},(k) )=(d_{1})}} e^{2πi[ n, \frac{h_{1}}{k} ]} .  (26)

∀x_{1} + y_{1}ω に対して、 ( h_{1}, (k) ) = (d_{1}) となるような、^{∃1}(d_{1}) が存在する。よって、 k ∈ Z[ω]、 n ∈ Z[ω]^{∗} のとき、

(式 (26)) = ∑_{h_{1} mod (k)} e^{2πi[ n, \frac{h_{1}}{k} ]} = η_{k}(n) .

よって、補題 3.34 が示された。補題 3.34 を更に変形するために、 Möbius の反転公式を考える。まず、その準備をする。

補題 3.35 (l) ⊂ Z[ω] とする。 μ( (l) ) は乗法的である。

証明定義 3.31 より、 μ ( (1) ) = 1 となる。次に ( (m), (n) ) = (1) のときを考える。まず、その中の (m) = (1) のときを考えると、

μ ( (m)(n) ) = μ ( (n) ) ,
μ ( (m) ) μ ( (n) ) = μ ( (n) )

となる。 (n) = (1) の時も同様となる。次に、 (m) ≠ (1) かつ (n) ≠ (1) のときを考える。まず、その中の (m) が同じ素因子を２つ以上持つときを考える。定義 3.31 より、

μ ( (m)(n) ) = 0 ,
μ ( (m) ) μ ( (n) ) = 0

となる。 (n) が同じ素因子を２つ以上持つときも同様となる。次に、 (m) と (n) が各イデアルで、同じ素因子を持たないときを考える。 1 ≤ i ≤ r ∈ Z、 1 ≤ j ≤ k ∈ Z とし、 P_{i} と Q_{j} を素イデアルとし、 (m) := P_{1} ⋯ P_{r}、 (n) := Q_{1} ⋯ Q_{k} とする。

μ ( (m)(n) ) = (−1)^{r+k} ,
μ ( (m) ) μ ( (n) ) = (−1)^{r}(−1)^{k} = (−1)^{r+k} .

よって、補題 3.35 が示された。

次も、 Möbius の反転公式を考えるための準備である。

補題 3.36 N ( (n) ) > 1 のとき、

∑_{(d)⊃(n)} μ ( (d) ) = 0 .

証明 (n) := P_{1}^{a_{1}} ⋯ P_{k}^{a_{k}} とおく。但し、 P_{i} は素イデアルであり、 i = 1 ⋯ k とする。 N ( (n) ) > 1 と 3.35 より、

∑_{(d)⊃(n)} μ ( (d) ) = ∑_{0 ≤ x_{i} ≤a_{i}} μ ( P_{1}^{x_{1}} ⋯ P_{k}^{x_{k}} )
= μ ( (1) )
+μ( P_{1} ) + ⋯ + μ( P_{k} )
+μ( P_{1}P_{2} ) + ⋯ + μ( P_{k−1}P_{k} )
+ ⋯
+μ( P_{1} ⋯ P_{k} )
= 1 − k + (−1)^{2} ( \begin{matrix}k \\ 2 \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}k \\ 3 \end{matrix} ) + ⋯ + (−1)^{k} ( \begin{matrix}k \\ k \end{matrix} )
= ( 1 − 1 )^{k}
= 0 .

よって、補題 3.36 が示された。

ここで、 Möbius の反転公式を考える。補題 3.37 ∀F 、 ∀G を整数論的関数とすると、

∑_{(d)⊃(n)} F (d) = G(n)

が成立するとき、

F (n) = ∑_{(d)⊃(n)} μ ( (\frac{n}{d}) ) G(d)

が成立する。証明

μ ( (\frac{n}{d}) ) G(d) = ∑_{(d)⊃(n)} μ ( (\frac{n}{d}) ) ∑_{(δ)⊃(d)} F (δ)
= ∑_{(d)⊃(n)} ∑_{(δ)⊃(d)} μ ( (\frac{n}{d}) ) F (δ) .  (27)

(n) を固定すると、 (d) や (δ) の数は有限個なので、 (27) において、和の順序を交換できる。よって、 n := dd_{1}、 d := δδ_{1} とおくと、

\frac{n}{d} = \frac{n}{δδ_{1}} ,
\frac{n}{δ} = δ_{1} \frac{n}{d}

となるので、 (\frac{n}{d}) ⊃ (\frac{n}{δ}) である。よって、

(式 (27)) = ∑_{(δ)⊃(n)} F (δ) ∑_{(δ_{1})⊃( \frac{n}{δ})} μ ( (δ_{1}) ) .  (28)

ここで、補題 3.36 より、 N ( (\frac{n}{δ}) ) > 1 のとき、

∑_{(δ_{1})⊃( \frac{n}{δ_{1}} )} μ ( (δ_{1}) ) = 0

となり、 N ( (\frac{n}{δ}) ) = (1) のとき、つまり、 (\frac{n}{δ}) = 1、 n = δ のときのみを考えればよい。よって、

(式 (28)) = F (n)μ ( (1) ) = F (n) .

よって、補題 3.37 が示された。ここまでを踏まえると、 Ramanujan 和について、以下の補題 3.38 が成立する。補題 3.38 k ∈ Z[ω]、 n ∈ Z[ω]^{∗} とする。

c_{k}(n) = ∑_{{(d)⊃(k) \atop \frac{n}{\overline{d}} ∈Z[ω]^{∗}}} μ ( (\frac{k}{d}) ) N ( (d) ) .

証明補題 3.34 に補題 3.32 と補題 3.37 を用いると、

c_{k}(n) = ∑_{(d)⊃(k)} μ ( (\frac{k}{d}) ) η_{d}(n)
= ∑_{{(d)⊃(k) \atop \frac{n}{\overline{d}} ∈Z[ω]^{∗}}} μ ( (\frac{k}{d}) ) N ( (d) ) .

よって、補題 3.38 が示された。

次に、 Dedekind zeta 関数について考える。

補題 3.39 1 < Re s ∈ C のとき、 (p) は (l) の異なる素イデアルをわたるとすると、

ζ_{K}(s) := ∑_{(0)≠(l)⊂Z[ω]} \frac{1}{N ( (l) )^{s}} = ∏_{(p)} ( 1 − N ( (p) )^{−s} )^{−1}

が成立し、右辺の無限積も ζ_{K}(s) と同様に、 Re s > 1 のとき、広義一様絶対収束する。

証明 (m), (n) ∈ Z[ω] とし、 f ( (m) ) ≡ 1 とする。このとき、 f ( (1) ) = 1 かつ f ( (m)(n) ) = f ( (m) ) f ( (n) ) より、 f は乗法的である。 f ( (l) ) = O(1) なので、命題 3.24 より、 Re s > 1 に対して、

∑_{(0)≠(l)⊂Z[ω]} \frac{1}{N ( (l) )^{s}} = ∑_{(0)≠(l)⊂Z[ω]} \frac{f ( (l) )}{N ( (l) )^{s}}
= ∏_{(p)} ( ∑_{δ=0}^{∞} \frac{f ( (p)^{δ} )}{N ( (p)^{δ} )^{s}} )
= ∏_{(p)} ( ∑_{δ=0}^{∞} \frac{1}{1 − \frac{1}{N( (p) )^{s}}} )
= ∏_{(p)} ( 1 − N ( (p) )^{−s} )^{−1} .

よって、補題 3.39 が示された。

命題 3.40

∑_{0≠l∈Z[ω]} \frac{S( 0, n; l )}{| l |^{2s}} = \{ \begin{matrix}6\frac{ζ_{K}( s−1 )}{ζ_{K}(s)} & n = 0 のとき , \\ 6\frac{σ′_{1−s}(n)}{ζ_{K}(s)} & n ≠ 0 のとき . \end{matrix}

証明まず、 n = 0 のときを考える。定義 3.27 と補題 3.21 より、

∑_{0≠l∈Z[ω]} \frac{S( 0, 0; l )}{| l |^{2s}} = ∑_{0≠l∈Z[ω]} \frac{1}{| l |^{2s}} ∑_{{h mod (l) \atop ( h,(l) )=(1)}} 1

= ∑_{0≠l∈Z[ω]} \frac{Φ(l)}{| l |^{2s}}
= 6 ∑_{(0)≠(l)⊂Z[ω]} \frac{Φ ( (l) )}{N ( (l) )^{s}}  (29)

補題 3.28 より、

| Φ ( (l) ) |≤ N ( (l) ) =| l |^{2}

となるので、命題 3.24 を用いる。|\frac{1}{N( (p) )^{s−1}} | < 1 であることに注意すると、 Re s > 2 のとき、 (p) は (l) の異なる素イデアルをわたるとすると、

(式 (29)) = 6 ∏_{(p)} ( ∑_{δ=0}^{∞} \frac{Φ ( (p)^{δ} )}{N ( (p)^{δ} )^{s}} )
= 6 ∏_{(p)} ( Φ ( (1)^{δ} ) + \frac{Φ ( (p) )}{N ( (p) )^{s}} + \frac{Φ ( (p)^{2} )}{N ( (p) )^{2s}} + · · · · · · )
= 6 ∏_{(p)} ( 1 + \frac{1 − \frac{1}{N( (p) )}}{N ( (p) )^{s−1}} ( 1 + \frac{1}{N ( (p) )^{s−1}} + \frac{1}{N ( (p) )^{2( s−1 )}} + · · · · · · ) )
= 6 ∏_{(p)} \frac{1 − \frac{1}{N( (p) )^{s−1}} + \frac{1}{N( (p) )^{s−1}} − \frac{1}{N( (p) )^{s}}}{1 − \frac{1}{N( (p) )^{s−1}}}
= 6\frac{ζ_{K}( s − 1 )}{ζ_{K}(s)} .

次に、 n ≠ 0 のときを考える。補題 3.4、補題 3.21、定義 3.30 を用いると、

∑_{0≠l∈Z[ω]} \frac{S( 0, n; l )}{| l |^{2s}} = ∑_{0≠l∈Z[ω]} \frac{1}{| l |^{2s}} ∑_{{h mod (l) \atop ( h,(l) )=(1)}} e^{2πi[ n, \frac{h}{l} ]} ,

= ∑_{0≠l∈Z[ω]} \frac{c_{l}(n)}{| l |^{2s}} ,
= 6 ∑_{(0)≠(l)⊂Z[ω]} \frac{c_{(l)}(n)}{N ( (l) )^{s}} ,  (30)

さらに、補題 3.38 を用いると、

\frac{c_{(l)}(n)}{N ( (l) )^{s}} = ∑_{(d)⊃(l) ; {\frac{n}{\overline{d}} ∈Z[ω]^{∗} \atop l=rd}} \frac{μ ( (r) ) N ( (d) )}{N ( (r)(d) )^{s}}

= ∑_{(d)⊃(l) ; {\frac{n}{\overline{d}} ∈Z[ω]^{∗} \atop l=rd}} \frac{μ ( (r) )}{N ( (r) )^{s}} N ( (d) )^{1−s} .

よって、

(式 (30)) = 6 ∑_{(0)≠(l)⊂Z[ω]} ∑_{(d)⊃(l) ; {\frac{n}{\overline{d}} ∈Z[ω]^{∗} \atop l=rd}} \frac{μ ( (r) )}{N ( (r) )^{s}} N ( (d) )^{1−s} .  (31)

l = rd より、 (d) ⊃ (l) はすべての (r) で満たし、 (r) を全てに渡らせると、 (r) で和を取っても同じになる。よって、

(式 (31)) = ∑_{(0)≠(r)⊂Z[ω]} \frac{μ ( (r) )}{N ( (r) )^{s}} · 6 ∑_{\frac{n}{\overline{r}} ∈Z[ω]^{∗}} | r |^{2( 1−s )} .  (32)

6 ∑_{{\frac{n}{\overline{r}} ∈Z[ω]^{∗} \atop (0)≠(r)⊂Z[ω]}} | r |^{2( 1−s )} = ∑_{\frac{n}{\overline{r}} ∈Z[ω]^{∗}} | r |^{2( 1−s )}
= ∑_{\frac{n}{\overline{r}} ∈Z[ω]^{∗}} N | \overline{r} |^{2( 1−s )}
= 6σ′_{1−s}(n) .  (33)

(31) の残りの部分において、 (p) を (r) の異なる素イデアルをわたるとする。定義 3.31 より、 | μ ( (r) ) |= 1 = O(1) であることと補題 3.35 より、命題 3.24 を用いると、 Re s > 1 のとき、

∑_{(0)≠(r)∈Z[ω]} \frac{μ ( (r) )}{N ( (r) )^{s}} = ∏_{(p)} ( ∑_{δ=0}^{∞} \frac{μ ( (p)^{δ} )}{N ( (p)^{δ} )^{s}} )
= ∏_{(p)} ( \frac{μ ( (1) )}{N ( (1) )} + \frac{μ ( (p) )}{N ( (p) )^{s}} + 0 )
= ∏_{(p)} ( 1 − \frac{1}{N ( (p) )^{s}} )
= \frac{1}{ζ_{K}(s)} .  (34)

式 (33) と式 (34) を式 (32) に代入すると、

(式 (32)) = 6\frac{σ′_{1−s}(n)}{ζ_{K}(s)} .

よって、命題 3.40 が示された。これまでで、 Eisenstein 級数の Fourier 展開がわかる。

命題 3.41

E( z, s ) = y^{s} + \frac{π}{s − 1} \frac{ζ_{K}( s − 1 )}{ζ_{K}(s)}y^{2−s}

+\frac{2π^{s}y}{Γ(s)ζ_{K}(s)} ∑_{0≠n∈Z[ω]^{∗}} | n |^{s−1} σ′_{1−s}(n)K_{s−1}( 2π | n | y )e^{2πi[ n,x ]} .

証明命題 3.1、補題 3.12、補題 3.15 と命題 3.40 より、

E( z, s ) = \frac{1}{3}P_{0}( z, s )
= \frac{1}{3} \{y^{s}e^{2π|0|y} ∑_{ρ=1,ω,\overline{ω}} e^{2πi[ 0,ρx ]} + \frac{1}{2}y^{2−s} · \frac{π}{s − 1} · 6\frac{ζ_{K}( s − 1 )}{ζ_{K}(s)}

+ \frac{1}{2}y^{2−s} ∑_{0≠n∈Z[ω]^{∗}} e^{2πi[ n,x ]} · \frac{2π^{s} | ny^{s−1} | K_{s−1}( 2π | n | y )}{Γ(s)} · 6\frac{σ′_{1−s}(n)}{ζ_{K}(s)}\}

= y^{s} + \frac{π}{s − 1} \frac{ζ_{K}( s − 1 )}{ζ_{K}(s)}y^{2−s}

+\frac{2π^{s}y}{Γ(s)ζ_{K}(s)} ∑_{0≠n∈Z[ω]^{∗}} | n |^{s−1} σ′_{1−s}(n)K_{s−1}( 2π | n | y )e^{2πi[ n,x ]} .

よって、命題 3.41 が示された。補題 3.42 E( z, s ) は C 上有理形であり、 s = 2 のとき、１位の極であり、 s ≠ 2 かつ Re s ≥ 1 を満たす s ∈ C のとき、正則である。証明命題 3.41 と ζ_{K}(s) の性質 ([Zagier, p.101-103]) を用いる。よって、補題 3.42 が示された。

3.4 内積の計算１

Poincaré 級数で、 L^{2} 内積が計算できるかどうかを確かめる。補題 3.43 m ≠ 0 のとき、

P_{m}( z, s ) ∈ L^{2}( F, dμ )

証明補題 3.13 より、

∫∫∫ |P_{m}( z, s )|^{2} dμ(z) < ∞ .

を示せばよい。命題 3.1 より、

|P_{m}( z, s )| ≤ \underbrace{|y^{s} exp( −2π | m | y ) ∑_{ρ=1,ω,\overline{ω}} e^{2πi[ m,ρx ]}|}_{�}

+ \underbrace{|\frac{1}{2}y^{2−s} ∑_{m_{2}∈Z[ω]^{∗}} e^{2πi[ m_{2},x ]} ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−2s} S( m, m_{2}; l )A_{s}( m, m_{2}; l; y )|}_{�}

となる。まず、 x_{1} と x_{2} での積分は、 e^{2πi[ ·,x ]} の項なので、値は１で抑えられる。次に、 y での積分を考える。�と�それぞれにおいて、

� ≤ 3y^{Re s}e^{−2π|m|y}

であり、 3.8 より、 Re s > \frac{3}{2} のとき、

� ≤ \frac{1}{2}y^{2−s}

となる。よって、 m ≠ 0、 exponential factor が存在することと Re s > \frac{3}{2} に注意すると、

∫∫∫ |P_{m}( z, s )|^{2} dμ(z) < ∞ .

よって、補題 3.43 が示された。

命題 3.44 m, n ∈ Z[ω]^{∗} とする。 s_{1}, s_{2} ∈ C で、\frac{3}{2} < Re s_{1} かつ\frac{3}{2} < Re s_{2} を満たすとする。とする。このとき、

⟨ P_{m}( ·, s_{1} ), P_{n}( ·, \overline{s_{2}} ) ⟩

= π \frac{(4π)^{2−s_{1}−s_{2}} | m |^{1−s_{1}}| n |^{1−s_{2}}}{Γ ( s_{1} − \frac{1}{2} ) Γ ( s_{2} − \frac{1}{2} )}

× \{∑_{j=1}^{∞} \overline{ρ_{j}(m)}ρ_{j}(n)Λ( s_{1}, s_{2}; iκ_{j} ) + 2π ∫_{−∞}^{∞} ( \frac{| n |}{| m |} )^{it} \frac{σ_{it}(m)σ_{−it}(n)Λ( s_{1}, s_{2}; it )}{|Γ( 1 + it )ζ_{K}( 1 + it )|^{2}} dt\} .

但し、

Λ( s_{1}, s_{2}; λ ) := Γ( s_{1} − 1 + λ )Γ( s_{1} − 1 − λ )Γ( s_{2} − 1 + λ )Γ( s_{2} − 1 − λ )

とする。

証明補題 3.43 より、 ⟨ P_{m}( ·, s_{1} ), ψ_{j} ⟩ を考えることができる。まず、 ⟨ P_{m}( ·, s_{1} ), ψ_{j} ⟩ を計算する際の絶対収束から示す。

補題 3.45 ⟨ P_{m}( ·, s_{1} ), ψ_{j} ⟩ の計算において、和と積分は交換可能である。

証明

∑_{γ∈Γ_{t}\Γ} ∫_{F} |y^{s_{1}}( γ(z) )e^{−2π|m|y( γ(z) )+2πi[ m,x( γ(z) ) ]}\overline{ψ_{j}(z)}| \frac{dx_{1}dx_{2}dy}{y^{3}} < ∞

(35)

を示せばよい。計算において、 x := x_{1} + x_{2}ω とおく。ここで、

補題 3.46 [Elstrodt etc., p.8-9] γ ∈ P SL( 2, C ) のとき、

ψ_{j} ( γ(z) ) = ψ_{j}(z) .

定義 2.6 と補題 3.46 より、

⟨ P_{m}( ·, s_{1} ), ψ_{j} ⟩
= ∑_{γ∈Γ_{t}\Γ} ∫_{γ(F)} y^{s_{1}}e^{−2π|m|y+2πi[ m,x ]}\overline{ψ_{j}( γ^{−1} ( (z) ) )} \frac{dx_{1}dx_{2}dy}{y^{3}}
= ∫_{Γ_{t}\H^{3}} y^{s_{1}−3}e^{−2π|m|y+2πi[ m,x ]}\overline{ψ_{j}(z)} dx_{1}dx_{2}dy
= ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} e^{2πi[ m,x ]} dx_{1}dx_{2} ∫_{0}^{∞} y^{s_{1}−3+1}
× ∑_{0≠m_{3}∈Z[ω]^{∗}} \overline{ρ_{j}(m_{3})}K_{−iκ_{j}}( 2π | \overline{m_{3}} | y )e^{−2πi[ m_{3},x ]} dy . (36)

式 (36) において、１つの m_{3} について考える。 m_{4} := m − m_{3} = m′_{4} + m_{4}”i とおく。 m_{4} ∈ Z[ω]^{∗} に注意すると、

∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} e^{2πi[ m_{4},x ]} dx_{1}dx_{2} ∫_{0}^{∞}( y の式 ) dy
= ∫_{0}^{1} e^{2πim′_{4}x_{1}} dx_{1} ∫_{0}^{1} e^{2πi( − \frac{1}{2} m′_{4}+ \frac{\sqrt{3}}{2} m_{4}” )x_{2}} dx_{2} ∫_{0}^{∞}( y の式 ) dy .

(37)

m′_{4} = 0 かつ m_{4}” = 0 のとき、つまり、 m_{3} = m のときのみ値が存在する。

∫_{0}^{1} e^{2πim′_{4}x_{1}} dx_{1} ∫_{0}^{1} e^{2πi( − \frac{1}{2} m′_{4}+ \frac{\sqrt{3}}{2} m_{4}” )x_{2}} dx_{2} = 1

を用いると、

(式 (36)) = ∫_{0}^{∞} y^{s_{1}−2} ∑_{0≠m∈Z[ω]^{∗}} \overline{ρ_{j}(m)}K_{−iκ_{j}}( 2π | \overline{m} | y )e^{−2πi[ m,x ]} dy

となる。そこで、式 (35) の左辺を考える。補題 3.18 を用いると、

∑_{γ∈Γ_{t}\Γ} ∫_{F} | · · · · · · | \frac{dx_{1}dx_{2}y}{y^{3}}
≤ ∫_{0}^{∞} y^{Re s_{1}−2}e^{−2π|\overline{m}|y} | \overline{ρ(m)} | |K_{−iκ_{j}}( 2π | \overline{m} | y )| dy
≤ | \overline{ρ_{j}(m)} | ∫_{0}^{∞} y^{Re s_{1}−2}e^{−2π|m|y}|K_{iκ_{j}}( 2π | m | y )| dy . (38)

補題 3.47 [Kuznecov, p.432 (4.32)] a > 0 かつ | arg x |≤ \frac{π}{2} かつ | x |→ ∞ のとき、

K_{ν}( ax ) ≪| x |^{− \frac{1}{2}} .

補題 3.48 [Erdélyi etc., p.5]

K_{ν}(z) = \frac{π}{2 sin( πν )} \{ I_{−ν}(z) − I_{ν}(z) \} .

補題 3.49 [数学公式�, p.145] z ∈ C かつ０より小さい実数でないとすると、

I_{ν}(z) = ( \frac{z}{2} )^{ν} ∑_{n=0}^{∞} \frac{( \frac{z}{2} )2n}{n!Γ( ν + n + 1 )} .

ここで、補題 3.47、補題 3.48 と補題 3.49 を式 (38) に用いる。 Y := 2π | m | y と変数変換すると、

(式 (38)) = \frac{| \overline{ρ_{j}(m)} |}{( 2π | m | )^{Re s_{1}−1}} ∫_{0}^{∞} Y^{Re s_{1}−2}e^{−Y} |K_{iκ_{j}}(Y)| dY . (39)

Y → 0 のとき、

|K_{iκ_{j}}(Y)| = \frac{π}{2 sin( iπν )} \{ J_{−ν}(0) − J_{ν}(0) \} = 0

となり、 Y → ∞ のとき、

|K_{iκ_{j}}(Y)| ≪ Y^{− \frac{1}{2}}

となるから、 exponential factor に注意すると、

∫_{0}^{∞} Y^{Re s_{1}−2}e^{−Y} |K_{iκ_{j}}(Y)| dY ≪ ∫_{0}^{∞} Y^{−2} dY < ∞ .

となり、

(39) ≪ ∞ .

よって、補題 3.45 が示された。

計算に戻ると、補題 3.45 の証明より、

⟨ P_{m}( ·, s_{1} ), ψ_{j} ⟩ = \frac{\overline{ρ_{j}(m)}}{( 2π | m | )^{s_{1}−1}} ∫_{0}^{∞} Y^{s_{1}−2}K_{iκ_{j}}(Y) dy .  (40)

補題 3.50 [Erdélyi etc., p.50 (26)] Re ( μ ± ν ) > 0 かつ Re ( α + β ) > 0 のとき、

Γ( \frac{1}{2} + μ )π^{− \frac{1}{2}} ( 2β )^{−ν}( α + β )^{ν+μ} ∫_{0}^{∞} e^{−αt}K_{ν}( βt )^{μ−1} dt

= Γ( μ + ν )Γ( μ − ν )_{2}F_{1} [ ν + μ, ν + \frac{1}{2}; μ + \frac{1}{2}; \frac{α − β}{α + β} ] .

補題 3.51 [数学公式�, p.55] pF_{q} を超幾何関数とし、 (α)_{0} := 1 とする。このとき、

(α)_{n} := α( α + 1 ) ⋯ ( α + n − 1 ) = \frac{Γ( α + n )}{Γ(α)} ,
pF_{q}( α_{1}, ⋯, α_{p}; β_{1}, ⋯, β_{q}; z ) := ∑_{n=0}^{∞} \frac{(α_{1})_{n} ⋯ (α_{p})_{n}}{(β_{1})_{n} ⋯ (β_{q})_{n}} · \frac{z^{n}}{n!}

とする。 | z |< 1 のとき、

F ( α, β, γ; z ) := _{2}F_{1}( α, β; γ; z )
= \frac{Γ(γ)}{Γ(α)Γ(β)} ∑_{n=0}^{∞} \frac{Γ( α + n )Γ( β + n )}{Γ( γ + n )} · \frac{z^{n}}{n!} .

ここで、 α = 1 、 β = 1 、 ν = iκ_{j} と μ = s_{1} − 1 とおくと、 Re ( μ ± ν ) = Re μ > \frac{1}{2} > 0 かつ Re ( α + β ) = 2 > 0 より、補題 3.50 の条件を満たす。よって、補題 3.50 を用いると、

∫_{0}^{∞} Y^{s_{1}−2}K_{iκ_{j}}(Y) dy
= \frac{\sqrt{π}Γ( s_{1} − 1 + iκ_{j} )Γ( s_{1} − 1 − iκ_{j} )}{Γ( s_{1} − \frac{1}{2} )2^{s_{1}−1+iκ_{j}}2^{−iκ_{j}}}_{2}F_{1} ( s_{1} − 1 + iκ_{j}, iκ_{j} + \frac{1}{2}; s_{1} − \frac{1}{2}; 0 ) .

さらに、|\frac{α−β}{α+β} | = 0 < 1 より、補題 3.51 の条件を満たす。補題 3.51 を用いると、

2F_{1} ( s_{1} − 1 + iκ_{j}, iκ_{j} + \frac{1}{2}; s_{1} − \frac{1}{2}; 0 ) = 1 .

ゆえに、

∫_{0}^{∞} Y^{s_{1}−2}K_{iκ_{j}}(Y) dy = \frac{π^{\frac{1}{2}} 2^{1−s_{1}}Γ( s_{1} − 1 + iκ_{j} )Γ( s_{1} − 1 − iκ_{j} )}{Γ( s_{1} − \frac{1}{2} )} . (41)

式 (41) を式 (40) に代入すると、

⟨ P_{m}( ·, s_{1} ), ψ_{j} ⟩ = \frac{( 4π )^{1−s_{1}}π^{\frac{1}{2}} | m |^{1−s_{1}}}{Γ( s_{1} − \frac{1}{2} )} Γ( s_{1} − 1 + iκ_{j} )Γ( s_{1} − 1 − iκ_{j} )\overline{ρ_{j}(m)} .

(42)

同様に、 ⟨ \overline{P_{n}( ·, \overline{s_{2}} ), ψ_{j}} ⟩ を計算すると、

⟨ \overline{P_{n}( ·, \overline{s_{2}} ), ψ_{j}} ⟩ = \frac{( 4π )^{1−s_{2}}π^{\frac{1}{2}} | n |^{1−s_{s}}}{Γ( s_{2} − \frac{1}{2} )} Γ( s_{2} − 1 + iκ_{j} )Γ( s_{2} − 1 − iκ_{j} )ρ_{j}(n) .

(43)

ここで、 j = 0 のときを考える。補題 2.16 に注意すると、同様に、

⟨ P_{m}( ·, s_{1} ), ψ_{0} ⟩ = ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} e^{2πi[ m,x ]} dx_{1}dx_{2} ∫_{0}^{∞} y^{s_{1}−3}|F|^{− \frac{1}{2}} dy .
⟨ P_{n}( ·, \overline{s_{2}} ), ψ_{0} ⟩ = ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} e^{2πi[ n,x ]} dx_{1}dx_{2} ∫_{0}^{∞} y^{\overline{s_{2}}−3}|F|^{− \frac{1}{2}} dy .

ここで、 mn ≠ 0 より、 ⟨ P_{m}( ·, s_{1} ), ψ_{0} ⟩ = 0 かつ ⟨ P_{n}( ·, \overline{s_{2}} ), ψ_{0} ⟩ = 0 よって、

⟨ P_{m}( ·, s_{1} ), ψ_{0} ⟩\overline{⟨ P_{n}( ·, \overline{s_{2}} ), ψ_{j} ⟩} = 0 .  (44)

次に、 E ( t, P_{m}( z, s_{1} ) ) について考える。まず、計算過程の絶対収束を考える。補題 3.52 E ( t, P_{m}( z, s_{1} ) ) において、和と積分の順序を交換できる。証明

∑_{γ∈Γ_{t}\Γ} ∫_{γ(F)} |y^{s_{1}} ( γ(z) ) e^{−2π|m|y( γ(z) )+2πi[ m,x( γ(z) ) ]}E( z, 1−it)| dμ(z) < ∞

を示せばよい。 x := x_{1} + x_{2}ω とおく。定義 2.6、補題 3.8 と補題 3.14 に注意すると、

∑_{γ∈Γ_{t}\Γ} ∫_{γ(F)} |y^{s_{1}} ( γ(z) ) e^{−2π|m|y( γ(z) )+2πi[ m,x( γ(z) ) ]}E( z, 1 − it )| dμ(z)

= ∫_{γ∈Γ_{t}\H^{3}} y^{Re s_{1}−3}e^{−2π|m|y} | e^{2πi[ m,x ]} | |E( z, 1 − it )| dμ(z)
≪ ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} 1 dx_{1}dx_{2} ∫_{0}^{∞} y^{Re s_{1}−3}e^{−2π|m|y} dy
≪ ∫_{0}^{∞} y^{2} dy < ∞ .

よって、補題 3.52 が示された。命題 3.41 と補題 3.52 を用いて、計算する。

E ( t, P_{m}( z, s_{1} ) )

= ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} e^{2πi[ m,x ]} dx_{1}dx_{2}

× ∫_{0}^{∞} y^{s_{1}−3}e^{−2π|m|y} \{ y^{1−it} + \frac{π}{−it} \frac{ζ_{K}( −it )}{ζ_{K}( 1 − it )}y^{1+it} + \frac{2π^{1−it}y}{Γ( 1 − it )ζ_{K}( 1 − it )}

× ∑_{0≠n_{1}∈Z[ω]^{∗}} | n_{1} |^{−it} σ′_{it}(n_{1})K_{−it}( 2π | n_{1} | y )e^{−2πi[ n_{1},x ]} } dy .  (45)

ここで、 m ≠ 0 と補題 3.8 に注意すると、

∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} e^{2πi[ m,x ]} dx_{1}dx_{2} ∫_{0}^{∞} y^{s_{1}−3}e^{−2π|m|y} \{ y^{1−it} + \frac{π}{−it} \frac{ζ_{K}( −it )}{ζ_{K}( 1 − it )}y^{1+it} \}

= 0 · ∫_{0}^{∞} y^{s_{1}−3}e^{−2π|m|y} \{ y^{1−it} + \frac{π}{−it} \frac{ζ_{K}( −it )}{ζ_{K}( 1 − it )}y^{1+it} \}
= 0 .  (46)

次に、１つの n_{1} で考える。 m + n_{1} ≠ 0 のとき、 ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} e^{2πi[ m+n_{1},x ]} dx_{1}dx_{2}

× ∫_{0}^{∞} y^{s_{1}−2}e^{−2π|m|y} \{ \frac{2π^{1−it}}{Γ( 1 − it )ζ_{K}( 1 − it )} | n_{1} |^{−it} σ′_{it}(n_{1})K_{−it}( 2π | n_{1} | y ) \} dy

= 0 · ∫_{0}^{∞} y^{s_{1}−2}e^{−2π|m|y} \{ \frac{2π^{1−it}}{Γ( 1 − it )ζ_{K}( 1 − it )} | n_{1} |^{−it} σ′_{it}(n_{1})K_{−it}( 2π | n_{1} | y ) \} dy
= 0 .  (47)

m + n_{1} = 0 のとき、つまり、 n_{1} = −m のとき、

∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} e^{2πi[ m+n_{1},x ]} dx_{1}dx_{2}

× ∫_{0}^{∞} y^{s_{1}−2}e^{−2π|m|y} \{ \frac{2π^{1−it}}{Γ( 1 − it )ζ_{K}( 1 − it )} | n_{1} |^{−it} σ′_{it}(n_{1})K_{−it}( 2π | n_{1} | y ) \} dy

= ∫_{0}^{∞} y^{s_{1}−2}e^{−2π|m|y}
× \{ \frac{2π^{1−it}}{Γ( 1 − it )ζ_{K}( 1 − it )} | n_{1} |^{−it} σ′_{it}(n_{1})K_{−it}( 2π | n_{1} | y ) \} dy .  (48)

式 (46) と式 (48) を式 (45) に代入する。 < P_{m}( ·, s_{1} ), ψ_{j} > のときと同様に、

E ( t, P_{m}( z, s_{1} ) ) = \frac{2π^{1−it} | −m |^{−it} σ′_{it}( −m )}{Γ( 1 − it )ζ_{K}( 1 − it )} ∫_{0}^{∞} y^{s_{1}−2}e^{−2π|m|y}K_{−it}( 2π | −m | y ) dy
= \frac{2π^{1−it} | m |^{−it} σ′_{it}( −m )}{Γ( 1 − it )ζ_{K}( 1 − it )} ∫_{0}^{∞} y^{s_{1}−2}e^{−2π|m|y}K_{−it}( 2π | m | y ) dy
= \frac{( 4π )^{1−s_{1}} | m |^{1−s_{1}} π^{\frac{1}{2}}}{Γ( s_{1} − \frac{1}{2} )} · \frac{2π^{1−it}σ′_{it}( −m )Γ( s_{1} − 1 + it )Γ( s_{1} − 1 − it )}{| m |^{it} Γ( 1 − it )ζ_{K}( 1 − it )} .

ここで、

補題 3.53

σ′_{ν}(m) = σ′_{ν}( −m ) ,

証明\frac{−m}{d} ∈ Z[ω]^{∗} のとき、\frac{m}{−d} ∈ Z[ω]^{∗} となることと、定義 1.5 より、

σ′_{ν}( −m ) = \frac{1}{6} ∑_{\frac{−m}{d} ∈Z[ω]^{∗}} | d |^{2ν} ,
= \frac{1}{6} ∑_{\frac{m}{−d} ∈Z[ω]^{∗}} | d |^{2ν} ,
= \frac{1}{6} ∑_{\frac{m}{−d} ∈Z[ω]^{∗}} | −d |^{2ν} ,
= σ′_{ν}(m) .

よって、補題 3.53 が示された。

補題 3.53 を用いると、

E ( t, P_{m}( z, s_{1} ) ) = \frac{( 4π )^{1−s_{1}} | m |^{1−s_{1}} π^{\frac{1}{2}}}{Γ( s_{1} − \frac{1}{2} )} \frac{2π^{1−it}σ′_{it}(m)Γ( s_{1} − 1 + it )Γ( s_{1} − 1 − it )}{| m |^{it} Γ( 1 − it )ζ_{K}( 1 − it )} .

(49)

同様に、\overline{E ( t, P_{n}( z, \overline{s_{2}} ))} を変形する。

\overline{E ( t, P_{n}( z, \overline{s_{2}} ) )} = \frac{( 4π )^{1−s_{2}} | n |^{1−s_{2}} π^{\frac{1}{2}}}{Γ( s_{2} − \frac{1}{2} )} \frac{2π^{1+it}σ′_{−it}(n)Γ( s_{2} − 1 + it )Γ( s_{2} − 1 − it )}{| n |^{−it} Γ( 1 + it )ζ_{K}( 1 + it )} .

(50)

補題 2.16 に式 (42)、式 (43)、式 (44)、式 (49) と式 (50) を代入する。よって、命題 3.44 が示された。補題 3.54 命題 3.44 の和と積分は収束する。証明第 3.5 項で示す。

3.5 内積の計算２

内積を定義に戻って、計算していく。まず、 A_{s}( m, n; l; y ) を変形する。補題 3.55 m, n ∈ Z[ω]^{∗}、 l ∈ Z[ω] とする。

A_{s}( m, n; l; y )

= 2π ∫_{0}^{∞} \frac{r}{( r^{2} + 1 )^{s}}

×J_{0} ( 2πr|ny + \frac{\overline{m}}{l^{2}( r^{2} + +1 )y} | ) e^{− \frac{2π|m|}{|l|^{2}( r^{2}+1 )y}} dr .

証明補題 3.5 の証明と同様に、極座標表示を用いると、

A_{s}( m, n; l; y ) = ∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{2π} \frac{r}{( | r |^{2} +1 )^{s}} e^{−2πiy[ n,re^{iθ} ]}
×e^{− \frac{2π|m|}{|l|^{2}( r^{2}+1 )y}} e^{− \frac{2πi[ l^{−2},mre^{iθ} ]}{( r^{2}+1 )y}} dθdr ,

さらに、

[ n, re^{iθ} ] = r( n_{1} cos θ + n_{2} sin θ ) ,
[ l^{−2}, mη ] = \frac{r}{| l |^{4}} \{ [ ( l_{1}^{2} − l_{2}^{2} )m′ − 2m”l_{1}l_{2} ] cos θ − [ ( l_{1}^{2} − l_{2}^{2} )m” + 2m′l_{1}l_{2} ] sin θ \}

を用いると、

−2πiy[ n, re^{iθ} ] − \frac{2πi[ l^{−2}, mre^{iθ} ]}{( r^{2} + 1 )y} ,

= −2πir \{ \underbrace{[ n_{1}y + \frac{( l_{1}^{2} − l_{2}^{2} )m′ − 2m”l_{1}l_{2}}{| l |^{4} ( r^{2} + 1 )y} ]}_{�}cos θ

+ \underbrace{[ n_{2}y − \frac{( l_{1}^{2} − l_{2}^{2} )m” + 2m′l_{1}l_{2}}{| l |^{4} ( r^{2} + 1 )y} ]}_{�}sin θ \}

となる。さらに、�と�について、計算すると、

�^{2} + �^{2} = ( ny + \frac{\overline{m}}{l^{2}( r^{2} + 1 )y} ) ( \overline{ny} + \frac{m}{\overline{l}^{2}( r^{2} + 1 )y} )
= |ny + \frac{\overline{m}}{l^{2}( r^{2} + 1 )y} |^{2}

となる。よって、

e^{−2πiy[ n,re^{iθ} ]− \frac{2πi[ l^{−2},mre^{iθ} ]}{( r^{2}+1 )y}} = e^{−2πir|ny+ \frac{\overline{m}}{l^{2}( r^{2}+1 )y} | cos( θ−θ_{1} )} . 但し、

cos θ_{1} = \frac{�}{|ny + \frac{\overline{m}}{l^{2}( r^{2}+1 )y} |} ,
sin θ_{1} = \frac{�}{|ny + \frac{\overline{m}}{l^{2}( r^{2}+1 )y} |}

とする。 M := 2πr|ny + \frac{\overline{m}}{l^{2}( r^{2}+1 )y} | とおくと、

A_{s}( m, n; l; y )

= ∫_{0}^{∞} \frac{r}{( | r |^{2} +1 )^{s}} e^{− \frac{2π|m|}{|l|^{2}( r^{2}+1 )y}} ∫_{0}^{2π} e^{−i( M cos( θ−θ_{1} )} dθdr .

ここで、 θ_{2} := \frac{π}{2} − ( θ − θ_{1} ) と変数変換すると、

∫_{0}^{2π} e^{−i( M cos( θ−θ_{1} )} dθ = ∫_{\frac{π}{2} +θ_{1}}^{− \frac{3}{2} +θ_{1}} e^{i( −M cos( \frac{π}{2} −θ_{2} ) )} ( −dθ_{2} )
= ∫_{− \frac{3}{2} +θ_{1}}^{\frac{π}{2} +θ_{1}} e^{i( −M sin θ_{2} )} dθ_{2} .  (51)

α := −\frac{3}{2} + θ_{1} とおくと、補題 3.16 より、

(51) = 2πJ_{0}(M) .

以上をまとめる。よって、補題 3.55 が示された。２つの Poincaré 級数の内積を内積の定義に戻って変形すると、以下のようになる。命題 3.56 0 ≠ m, n ∈ Z[ω]^{∗} とする。 s_{1}, s_{2} ∈ C で、\frac{3}{2} < Re s_{1}, Re s_{2} を満たすとする。このとき、

⟨ P_{m}( ·, s_{1} ), P_{n}( ·, \overline{s_{2}} ) ⟩

= ( δ_{m,n} + δ_{m,nω} + δ_{m,n\overline{ω}} )Γ( s_{1} + s_{2} − 2 )( 4π | m | )^{2−s_{1}−s_{2}}

+\frac{1}{2} ∫_{0}^{∞} e^{−2π|n|y}y^{s_{2}−s_{1}−1} ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−2s_{1}} S( m, n; l )A_{s_{1}}( m, n; l; y ) dy .

証明定義 2.12 より、

⟨ P_{m}( ·, s_{1} ), P_{n}( ·, \overline{s_{2}} ) ⟩ = ∫_{F} P_{m}( ·, s_{1} )\overline{P_{n}( ·, \overline{s_{2}} )} dμ(z)  (52)

となる。まず、計算過程において、必要な絶対収束を示す。

補題 3.57 式 (52) の右辺において、和と積分の順序を交換できる。

証明

∑_{γ∈Γ_{t}\Γ} ∑_{γ_{1}∈Γ_{t}\Γ}∫_{F} |y^{s_{1}}( γ(z) ) )e^{−2π|m|y( γ(z) )+2πi[ m,x( γ(z) ) ]}

× y^{s_{2}}( γ_{1}(z) )e^{−2π|n|y( γ_{1}(z) )−2πi[ n,x( γ_{1}(z) ) ]}| dμ(z) < ∞

(53)

を示せばよい。 x := x_{1} + x_{2}ω とおく。定義 2.6 と補題 3.13 より、

(式 (53)) の左辺)

= ∫_{Γ_{t}\H^{3}} |y^{s_{1}}e^{−2π|m|y+2πi[ m,x ]}y^{s_{2}}e^{−2π|n|y+2πi[ n,x ]}| dμ(z)
≤ ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{∞} y^{Re ( s_{1}+s_{2} )−3}e^{−2π( |m|+|n| )y} dx_{1}dx_{2}dy
= ∫_{0}^{∞} y^{Re ( s_{1}+s_{2} )−3}e^{−2π( |m|+|n| )y} dx_{1}dx_{2}dy .

ここで、 exponential factor に注意すると、

∫_{0}^{∞} y^{Re ( s_{1}+s_{2} )−3}e^{−2π( |m|+|n| )y} dx_{1}dx_{2}dy ≪ ∞

となる。よって、補題 3.57 が示された。

２つの Poincaré 級数のうち、 P_{m}( ·, s_{1} ) を展開して計算する。命題 3.1 より、 Re s_{1} > \frac{3}{2} のとき、

⟨ P_{m}( ·, s_{1} ), P_{n}( ·, \overline{s_{2}} ) ⟩

= ∫_{F} \{ y^{s_{1}}e^{−2π|m|y} ∑_{ρ=1,ω,\overline{ω}} e^{2πi[ m,ρx ]}

+ \frac{1}{2}y^{2−s_{1}} ∑_{m_{2}∈Z[ω]^{∗}} e^{2πi[ m_{2},x ]} ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−2s_{1}} S( m, m_{2}; l )A_{s_{1}}( m, m_{2}; l; y ) \}

× ∑_{γ_{1}∈Γ_{t}\Γ} y^{s_{2}}( γ_{1}(z) )e^{−2π|n|y( γ_{1}(z) )−2πi[ n,x( γ_{1}(z) ) ]} dμ(z) .

ここから先の計算を２つに分けて考える。定義 2.6、補題 3.13 と補題 3.57 より、

∫_{F} y^{s_{1}}e^{−2π|m|y} ∑_{ρ=1,ω,\overline{ω}} e^{2πi[ m,ρx ]}

× ∑_{γ_{1}∈Γ_{t}\Γ} y^{s_{2}}( γ_{1}(z) )e^{−2π|n|y( γ_{1}(z) )−2πi[ n,x( γ_{1}(z) ) ]} dμ(z)

= ∫_{Γ_{t}\H^{3}} y^{s_{1}+s_{2}−3}e^{−2π( |m|+|n| )y} ∑_{ρ=1,ω,\overline{ω}} e^{2πi\{ [ m,ρx ]−[ n,x ] \}} dx_{1}dx_{2}dy
= ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} ∑_{ρ=1,ω,\overline{ω}} e^{2πi\{ [ m,ρx ]−[ n,x ] \}} dx_{1}dx_{2}
× ∫_{0}^{∞} y^{s_{1}+s_{2}−3}e^{−2π( |m|+|n| )y} dy .  (54)

ここで、 x についての積分を考える。

∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} ∑_{ρ=1,ω,\overline{ω}} e^{2πi\{ [ m,ρx ]−[ n,x ] \}} dx_{1}dx_{2}

= ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} \{ e^{2πi[ m−n,x ]} + e^{2πi\{ [ m,ωx ]−[ n,x ] \}} + e^{2πi\{ [ m,\overline{ω}x ]−[ n,x ] \}} \} dx_{1}dx_{2} .

(55)

m′ := m − n = m′_{1} + m′_{2}i とおくと、

∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} e^{2πi[ m−n,x ]} dx_{1}dx_{2}
= ∫_{0}^{1} e^{2πm′_{1}x_{1}} dx_{1} ∫_{0}^{1} e^{2πi( − \frac{1}{2} m′_{1}+ \frac{\sqrt{3}}{2} m′_{2} )x_{2}} dx_{2} .  (56)

式 (56) は、 m′_{1} ≠ 0 のとき、 (式 (56)) = 0 となるので、 m′_{1} = 0 のときを考える。同様に、 m′_{2} ≠ 0 のとき、 (式 (56)) = 0 となるので、 m′_{2} = 0 のときを考える。ゆえに、 m′ = 0 のとき、つまり、 m = n のときのみを考えることになる。よって、

(式 (56)) = 1  (57)

となる。

[ m, ωx ] − [ n, x ] = [ m\overline{ω}, x ] − [ n, x ] = [ m\overline{ω} − n, x ] ,
[ m, \overline{ω}x ] − [ n, x ] = [ mω, x ] − [ n, x ] = [ mω − n, x ]

に注意して、式 (56) と同様に計算すると、 m\overline{ω} = n のとき、つまり、 m = nω のとき、

∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} e^{2πi[ m,ωx ]−[ n,x ]} dx_{1}dx_{2} = 1  (58)

となる。 mω = n のとき、つまり、 m = n\overline{ω} のとき、

∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} e^{2πi[ m,\overline{ω}x ]−[ n,x ]} dx_{1}dx_{2} = 1  (59)

となる。次に、 y の積分を考える。 | m |=| n |=| nω |=| n\overline{ω} | と式 (57)、式 (58) と式 (59) より、

(式 (54)) = ( δ_{m,n} + δ_{m,nω} + δ_{m,n\overline{ω}} ) ∫_{0}^{∞} y^{s_{1}+s_{2}−3}e^{−4π|m|} dy

となる。ここで、 Y := 4π | m | と変数変換すると、

(式 (54)) = ( δ_{m,n} + δ_{m,nω} + δ_{m,n\overline{ω}} )\frac{1}{( 4π | m | )^{s_{1}+s_{2}−2}} ∫_{0}^{∞} Y^{s_{1}+s_{2}−3}e^{−Y} dY
= ( δ_{m,n} + δ_{m,nω} + δ_{m,n\overline{ω}} )Γ( s_{1} + s_{2} − 2 )( 4π | m | )^{2−s_{1}−s_{2}} . (60)

次に、残りの部分を計算する。１つの m_{2} について考える。

∫_{F} \frac{1}{2}y^{2−s_{1}}e^{2πi[ m_{2},x ]} ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−2s_{1}} S( m, m_{2}; l )A_{s_{1}}( m, m_{2}; l; y )

× ∑_{γ_{1}∈Γ_{t}\Γ} y^{s_{2}}( γ_{1}(z) )e^{−2π|n|y( γ_{1}(z) )−2πi[ n,x( γ_{1}(z) ) ]} dμ(z) .

についても先程と同様に、 m_{2} = n のとき、

(式 (61)) = \frac{1}{2} ∫_{0}^{∞} y^{s_{2}−s_{1}−1}e^{−2π|n|y}

× ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−2s_{1}} S( m, n; l )A_{s_{1}}( m, n; l; y )

となる。式 (60) と式 (61) を用いて、まとめる。よって、命題 3.56 が示された。

変形後の式の存在を考える。

補題 3.58 命題 3.56 の右辺は、 Re s_{1}, Re s_{2} > \frac{3}{2} のとき、絶対収束し、存在する。証明 m と n を固定する。 Re s_{1}, Re s_{2} > \frac{3}{2} より、 | s_{1} |→ ∞ や | s_{2} |→ ∞ のときを考えればよい。 Stirling の公式より、

( δ_{m,n} + δ_{m,nω} + δ_{m,n\overline{ω}} )Γ( s_{1} + s_{2} − 2 )( 4π | m | )^{2−s_{1}−s_{2}}
≪ O( e^{−|Im ( s_{1}+s_{2} )|} ) < ∞ となる。

残りの部分について、補題 3.8 より、和の部分は Re s_{1} > \frac{3}{2} のとき、絶対収束する。よって、残りの積分を考える。 exponential factor が存在するので、

\frac{1}{2} ∫_{0}^{∞} e^{−2π|n|y}y^{s_{2}−s_{1}−1} ≪ ∫_{0}^{∞} y^{−2} dy < ∞

となる。よって、補題 3.58 が示された。

A_{s_{1}}( m, n; l; y ) を変形し、更に変形し、内積を計算する。

命題 3.59 0 ≠ m, n ∈ Z[ω]^{∗} とする。\frac{3}{2} < Re s_{1}, Re s_{2} を満たす s_{1}, s_{2} ∈ C とする。このとき、

⟨ P_{m}( ·, s_{1} ), P_{n}( ·, \overline{s_{2}} ) ⟩

= ( δ_{m,n} + δ_{m,nω} + δ_{m,n\overline{ω}} )Γ( s_{1} + s_{2} − 2 )( 4π | m | )^{2−s_{1}−s_{2}}

+π ( \frac{| m |}{| n |} )^{\frac{1}{2} ( s_{2}−s_{1} )} ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−s_{1}−s_{2}} S( m, n; l )B ( \frac{2π\sqrt{| mn |}}{| l |}, ϑ_{0}; s_{1}, s_{2} ) .

但し、

ϑ_{0} := arg ϖ ,
ϖ^{2} := \frac{\overline{mn}}{l^{2}} ,
B( p, ϑ; s_{1}, s_{2} ) := ∫_{0}^{∞} y^{s_{2}−s_{1}−1}C( p, ϑ; \frac{1}{2}( s_{1} + s_{2} ); y ) dy ,
C( p, ϑ; τ; y ) := ∫_{0}^{∞} \frac{r}{( r^{2} + 1 )^{τ}} J_{0} ( \frac{pr}{\sqrt{r^{2} + 1}}|ye^{iϑ} + ( ye^{iϑ})^{−1}| ) e^{− \frac{p( y+y^{−1} )}{\sqrt{r^{2}+1}}} dr .

証明まず、

∫_{0}^{∞} y^{s_{2}−s_{1}−1}e^{−2π|m|y} ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−2s_{1}} S( m, n; l )A_{s_{1}}( m, n; l; y ) dy (61)

を変形する。先程の A_{s_{1}}( m, n; l; y ) の変形の一部分に着目して、変形する。

|ny + \frac{\overline{m}}{l^{2}( r^{2} + +1 )y} |^{2}

= | n |^{2} y^{2} + \frac{| m |^{2}}{| l |^{4} ( r^{2} + 1 )^{2}y^{2}} + \frac{2}{| l |^{4} ( r^{2} + 1 )^{2}} Re \overline{mn}(\overline{l})^{2} .(62)

ここで、 y → \frac{1}{|l|\sqrt{r^{2}+1}} \sqrt{\frac{|m|}{|n|}}Y と変数変換すると、

(式 (62)) = \frac{| mn |}{| l |^{2}} · \frac{1}{r^{2} + 1} ( Y^{2} + Y^{−2} + \frac{2}{| l |^{2}| m || n |} Re \overline{mn}(\overline{l})^{2} )
= \frac{| mn |}{| l |^{2}} · \frac{1}{r^{2} + 1} ( Y^{2} + Y^{−2} + 2\frac{| l |^{2}}{| mn |} Re \frac{\overline{mn}}{l^{2}} ) . (63)

| l^{2} |=| l |^{2} に注意すると、

2\frac{| l |^{2}}{| mn |} Re \frac{\overline{mn}}{l^{2}} = \frac{| l |^{2}}{| mn |} ( \frac{\overline{mn}}{l^{2}} − \overline{\frac{\overline{mn}}{l^{2}}} ) ,
|\frac{\overline{mn}}{l^{2}} | = \frac{| \overline{m} || \overline{n} |}{| l |^{2}} ,
\frac{| l |^{2}}{| mn |} · \frac{\overline{mn}}{l^{2}} = e^{i arg \frac{|\overline{mn}|}{|l|^{2}}} ,
\frac{| l |^{2}}{| mn |} · \overline{\frac{\overline{mn}}{l^{2}}} = e^{−i arg \frac{|\overline{mn}|}{|l|^{2}}}

となる。そこで、 ϑ_{0} := \frac{1}{2} arg \frac{\overline{mn}}{l^{2}} とおくと、

Y^{2} + Y^{−2} + 2\frac{| l |^{2}}{| mn |} Re \frac{\overline{mn}}{l^{2}}

= Y^{2} + Y^{−2} + \frac{e^{\frac{1}{2} i arg \frac{|\overline{mn}|}{|l|^{2}}}}{e^{− \frac{1}{2} i arg \frac{|\overline{mn}|}{|l|^{2}}}} + \frac{e^{− \frac{1}{2} i arg \frac{|\overline{mn}|}{|l|^{2}}}}{e^{\frac{1}{2} i arg \frac{|\overline{mn}|}{|l|^{2}}}}
= \{( Y e^{\frac{1}{2} i arg \frac{|\overline{mn}|}{|l|^{2}}} ) + ( Y e^{\frac{1}{2} i arg \frac{|\overline{mn}|}{|l|^{2}}} )^{−1} \} \{( Y e^{− \frac{1}{2} i arg \frac{|\overline{mn}|}{|l|^{2}}} ) + ( Y e^{− \frac{1}{2} i arg \frac{|\overline{mn}|}{|l|^{2}}} )^{−1} \}
= |( Y e^{iϑ_{0}} ) + ( Y e^{iϑ_{0}} )^{−1}|^{2} .

よって、

(式 (63)) = \frac{| mn |}{| l |^{2}} · \frac{1}{r^{2} + 1}|( Y e^{iϑ_{0}} ) + ( Y e^{iϑ_{0}} )^{−1}|^{2}  (64)

となる。式 (64) を補題 3.55 に代入する。

A_{s_{1}}( m, n; l; \frac{1}{| l | \sqrt{r^{2} + 1}}\sqrt{\frac{| m |}{| n |}}Y )

= 2π ∫_{0}^{∞} \frac{r}{( r^{2} + 1 )^{s}}

×J_{0} ( \frac{2π\sqrt{| mn |}}{| l |} · \frac{1}{\sqrt{r^{2} + 1}} · r|( Y e^{iϑ_{0}} ) + ( Y e^{iϑ_{0}} )^{−1}| ) e^{−^{\frac{2π\sqrt{|mn|}}{|l|}} ·_{\frac{1}{\sqrt{r^{2}+1}}} · \frac{1}{Y}} dr .

(65)

補題 3.55、命題 3.56 と補題 3.58 に注意して、式 (65) を式 (61) に代入する。 p := ^{\frac{2π\sqrt{|mn|}}{|l|}} とおく。

(式 (61)) = ∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{∞} ( \frac{1}{| l | \sqrt{r^{2} + 1}}\sqrt{\frac{| m |}{| n |}}Y )^{s_{2}−s_{1}−1} e^{−^{\frac{2π\sqrt{|mn|}}{|l|}} ·_{\frac{1}{\sqrt{r^{2}+1}}} ·Y}

×2π \frac{r}{( r^{2} + 1 )^{s_{1}}} J_{0} ( \frac{2π\sqrt{| mn |}}{| l |} · \frac{1}{\sqrt{r^{2} + 1}} · r|( Y e^{iϑ_{0}} ) + ( Y e^{iϑ_{0}} )^{−1}| )

×e^{−^{\frac{2π\sqrt{|mn|}}{|l|}} ·_{\frac{1}{\sqrt{r^{2}+1}}} · \frac{1}{Y}} \frac{1}{| l | \sqrt{r^{2} + 1}}\sqrt{\frac{| m |}{| n |}} drdY

= 2π | l |^{s_{1}−s_{2}} ( \frac{| m |}{| n |} )^{\frac{s_{2}−s_{1}}{2}} ∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{∞} \frac{r}{( r^{2} + 1 )^{\frac{s_{1}+s_{2}}{2}}} Y^{s_{2}−s_{1}−1}

×J_{0} ( \frac{pr}{\sqrt{r^{2} + 1}}|( Y e^{iϑ_{0}} ) + ( Y e^{iϑ_{0}} )^{−1}| ) e^{− \frac{p}{\sqrt{r^{2}+1}} ( Y + \frac{1}{Y} )} drdY

= 2π | l |^{s_{1}−s_{2}} ( \frac{| m |}{| n |} )^{\frac{s_{2}−s_{1}}{2}} ∫_{0}^{∞} Y^{s_{2}−s_{1}−1}C( p, ϑ_{0}; \frac{s_{1} + s_{2}}{2} ; Y ) dY
= 2π | l |^{s_{1}−s_{2}} ( \frac{| m |}{| n |} )^{\frac{s_{2}−s_{1}}{2}} B( p, ϑ_{0}; s_{1}, s_{2} ) .  (66)

式 (66) を命題 3.56 に代入する。よって、命題 3.59 が示された。以後の式変形の条件となる場合があるので、ここで述べる。補題 3.60 sin ϑ_{0}, cos ϑ_{0} > 0 としてよい。証明

arg \frac{\overline{mn}}{l^{2}} = \frac{1}{| l |^{4}} arg \overline{mn}\overline{l^{2}}

である。 l ∈ Z[ω] なので、同一視できるイデアルを考えれば、

0 < arg \frac{\overline{mn}}{l^{2}} ≤ \frac{π}{3}

となる l が存在する。よって、補題 3.60 が示された。 B( p, ϑ, s_{1}, s_{2} ) について考える。補題 3.61 Re s_{1}, Re s_{2} > 1 のとき、

B( p, ϑ, s_{1}, s_{2} ) ≪| l |^{|Re s_{1}−Re s_{2}|} .

証明補題 3.62 [数学公式�, p.179] Re ν > −\frac{1}{2} かつ Re z > 0 のとき、

J_{ν}(z) = \frac{( \frac{z}{2} )ν}{\sqrt{π}Γ( ν + \frac{1}{2} )} ∫_{0}^{π} cos( z cos θ )( sin θ )^{2ν} dθ .

補題 3.62 の条件を満たすので、

|J_{0} ( \frac{pr}{\sqrt{r^{2} + 1}}|( Y e^{iϑ_{0}} ) + ( Y e^{iϑ_{0}} )^{−1}| )|

≤ \frac{1}{π} ∫_{0}^{π} | cos( z cos θ ) | dθ = 1 .  (67)

B( p, ϑ, s_{1}, s_{2} ) の絶対収束を示し、式変形をしていく。

補題 3.63 B( p, ϑ, s_{1}, s_{2} ) の積分の順序を交換できる。

証明式 (67) と exponential factor があることとその factor の中身に注意すると、

|B( p, ϑ, s_{1}, s_{2} )|

≤ ∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{∞} e^{− \frac{p}{\sqrt{r^{2}+1}} ( y+ \frac{1}{y} )}y^{Re s_{2}−Re s_{1}−1} \frac{r}{( r^{2} + 1 )^{\frac{Re s_{1}+Re s_{2}}{2}}}

× |J_{0} ( \frac{pr}{\sqrt{r^{2} + 1}}|( Y e^{iϑ_{0}} ) + ( Y e^{iϑ_{0}} )^{−1}| )| drdy

≪ ∫_{0}^{∞} y^{−2} dy ∫_{0}^{∞} \frac{r}{( r^{2} + 1 )^{\frac{Re s_{1}+Re s_{2}}{2}}} dr .  (68)

Re s_{1} + s_{2} > 2 のとき、 (式 (68)) < ∞ となる。 s_{1} と s_{2} の条件はこれを満たす。よって、補題 3.63 が示された。

B( p, ϑ, s_{1}, s_{2} ) の挙動を考える。

補題 3.64 [Erdélyi etc., p.82 (23)] Re z > 0, Re ( a^{2}z ) > 0 のとき、

K_{ν}( az ) = \frac{1}{2}a^{ν} ∫_{0}^{∞} t^{−ν−1}e^{− \frac{1}{2} z( t+a^{2}t^{−1} )} dt .

a = 1 かつ z = \frac{2p}{\sqrt{r^{2}+1}} かつ ν = Re s_{1} − Re s_{2} とおく。 p > 0 に注意すると、これらは、補題 3.64 の条件を満たす。補題 3.63 と補題 3.64 より、

|B( p, ϑ, s_{1}, s_{2} )|
≤ 2 ∫_{0}^{∞} \frac{r}{( r^{2} + 1 )^{\frac{Re s_{1}+Re s_{2}}{2}}} K_{Re s_{1}−Re s_{2}} ( \frac{2p}{\sqrt{r^{2} + 1}} ) dr . (69)
|K_{Re s_{1}−Re s_{2}} ( \frac{2p}{\sqrt{r^{2} + 1}} )| = K_{Re s_{1}−Re s_{2}} ( \frac{2p}{\sqrt{r^{2} + 1}} ) .  (70)

Bessel 関数の公式を用いて、 B( p, ϑ, s_{1}, s_{2} ) の挙動を見る。

補題 3.65 [Erdélyi etc., p.5 (12)] −π < arg z < \frac{π}{2} のとき、

I_{ν} = e^{− \frac{iνπ}{2}} J_{ν}( iz ) .

補題 3.48 の条件を満たすので、

|K_{ν}(z)| = \frac{π}{2} \frac{1}{| sin( πν ) |}|I_{−ν}(z) − I_{ν}(z)|
≪ \frac{π}{2} \{ |I_{−ν}(z)| + |I_{ν}(z)| \} .  (71)

補題 3.65 の条件を満たすので、

|I_{ν}(z)| =| e^{− \frac{iνπ}{2}} | |J_{ν}( iz )| = |J_{ν}( iz )|

となる。そこで、 J-Bessel 関数の公式を用いる。補題 3.66 [Watson, p.44 3.13 (1)]

J_{ν}(z) = \frac{( \frac{z}{2} )}{Γ( ν + 1 )}( 1 + a ) ,

但し、 | z | と | ν | が上に有界であり、

| a | := e^{\{\frac{\frac{1}{4} |z|^{2}}{|ν_{0}+1|}\}}
| ν_{0} + 1 | := min{| ν + 1 |}

とする。 m、 n、 s_{1} と s_{2} を固定する。このとき、補題 3.66 の条件を満たすので、

(式 (71)) =| z |^{ν}  (72)

となる。式 (72) を式 (69) に代入する。式 (70) に注意し、\frac{2p}{\sqrt{r^{2}+1}} → R と変数変換すると、

(式 (69)) ≪ \frac{| l |}{2π\sqrt{| mn |}} ∫0^{\frac{4π\sqrt{|mn|}}{|l|}} ( R^{Re ( s_{1}−s_{2} )} + R^{Re ( s_{2}−s_{1} )} )

× ( \frac{4π\sqrt{| mn |}}{| l |} · \frac{1}{R} )^{3−Re ( s_{1}+s_{2} )} dR

≪ | l |^{Re ( s_{1}+s_{2} )−2} ∫0^{\frac{4π\sqrt{|mn|}}{|l|}} ( R^{2 Re s_{1}−3} + R^{2 Re s_{2}−3} ) dR
≪ | l |^{Re ( s_{1}+s_{2} )−2} ( | l |^{2−2 Re s_{1}} + | l |^{2−2 Re s_{1}} ) .

| l |≥ 1 より、 Re s_{1} ≥ Re s_{2} のとき、

| l |^{2−2 Re s_{1}}≤| l |^{2−2 Re s_{2}}

となり、 Re s_{1} < Re s_{2} のとき、

| l |^{2−2 Re s_{1}} > | l |^{2−2 Re s_{2}}

となる。これらをまとめる。よって、補題 3.61 が示された。補題 3.61 を使って、式変形後の式の存在を示す。補題 3.67

∑_{0≠l∈Z[ω]} | | l |^{−s_{1}−s_{2}} S( m, n; l )B ( \frac{2π\sqrt{| mn |}}{| l |}, ϑ_{0}; s_{1}, s_{2} ) | < ∞ (73)

証明 m と n を固定し、 Re s_{1} < Re s_{2} とおく。補題 3.6、補題 3.7 と補題 3.61 より、

(式 (73)) ≤ ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{− Re s_{1}−Re s_{2}}| l || ( l, m, n ) | σ_{0}(l) | l |^{|Re s_{1}−Re s_{2}|}
≪ ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{1−2 Re s_{1}+2ε}
≤ 6 + ∫_{0}^{2π} ∫_{1}^{∞} r^{2−2 Re s_{1}+2ε} drdθ ,

3 − 2 Re s_{1} + 2ε < 0 のとき、つまり、 Re s_{1} > \frac{3}{2} のとき、

(式 (73)) ≪ ∞ .

Re s_{1} ≥ Re s_{2} のときも同様に計算する。よって、補題 3.67 が示された。補題 3.68 命題 3.59 の右辺は、 Re s_{1}, Re s_{2} > \frac{3}{2} のとき、絶対収束し、存在する。証明補題 3.58 より、補題 3.67 を示せばよい。よって、補題 3.68 が示された。さらに、 B( p, ϑ, s_{1}, s_{2} ) を変形する。補題 3.69 [本橋１, p.276-281] 1 < Re s_{1}, Re s_{2}、 0 < p かつ 0 < sin ϑ, cos ϑ のとき、

B( p, ϑ; s_{1}, s_{2} ) = −i\frac{( 2p )^{2−s_{1}−s_{2}}}{Γ( s_{1} − \frac{1}{2} )Γ( s_{2} − \frac{1}{2} )} ∫_{(0)} λΛ( s_{1}, s_{2}; λ )J_{λ}( pe^{iϑ} ) dλ .

但し、 a ∈ R かつ t, ν ∈ C のとき、

∫_{(a)} ⋯ dλ := ∫_{Re λ=a} ⋯ dλ

とおく。命題 3.70 0 ≠ m, n ∈ Z[ω]^{∗} とする。 s_{1}, s_{2} ∈ C で、\frac{3}{2} < Re s_{1} かつ\frac{3}{2} < Re s_{2} を満たすとする。このとき、

⟨ P_{m}( ·, s_{1} ), P_{n}( ·, \overline{s_{2}} ) ⟩

= ( δ_{m,n} + δ_{m,nω} + δ_{m,n\overline{ω}} )Γ( s_{1} + s_{2} − 2 )( 4π | m | )^{2−s_{1}−s_{2}}

−i\frac{( 4π )^{3−s_{1}−s_{2}} | m |^{1−s_{1}}| n |^{1−s_{2}}}{4Γ( s_{1} − \frac{1}{2} )Γ( s_{2} − \frac{1}{2} )}

× ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−2} S( m, n; l ) ∫_{(0)} λΛ( s_{1}, s_{2}; λ )J_{λ}( 2πϖ ) dλ .

証明

arg ϖ = arg \sqrt{\frac{\overline{mn}}{l^{2}}}

と、

e^{i arg \sqrt{\frac{\overline{mn}}{l^{2}}}} = \frac{| l |}{\sqrt{| mn |}}\sqrt{\frac{\overline{mn}}{l^{2}}}

から、 ϑ_{0} = arg ϖ に注意すると、

\frac{2π\sqrt{| mn |}}{| l |}e^{iϑ_{0}} = \frac{2π\sqrt{| mn |}}{| l |} \frac{| l |}{\sqrt{| mn |}}\sqrt{\frac{\overline{mn}}{l^{2}}}
= 2πϖ .  (74)

後は、命題 3.59 に補題 3.69 と式 (74) を代入する。よって、命題 3.70 が示された。

これから、 Δ の固有関数の Fourier 係数の挙動を２本の内積の式を用いて考える。

補題 3.71 [本橋１, p.275-282] 0 < p かつ σ を 0 < σ を満たす小さい実数とする。 s_{1}, s_{2} ∈ C を | Re ( s_{1}−s_{2} ) | < σ かつ | Re ( s_{1} + s_{2} ) | > 2 + 4σ を満たすようにとる。さらに、 0 < sin ϑ, cos ϑ とする。このとき、

B( p, ϑ; s_{1}, s_{s} ) = \frac{Γ ( \frac{1}{2}( s_{1} + s_{2} − 1 ) )}{8π^{\frac{3}{2}} i}

× ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} r^{\frac{1}{2} ( s_{1}−s_{2} )−1}( 1 − r )^{\frac{1}{2} ( s_{2}−s_{1} )−1}t^{′− \frac{1}{2}} ( 1 − t′ )^{\frac{1}{2} ( s_{1}+s_{2} )−2}

× ∫_{(σ)} \frac{Γ(η)}{Γ ( \frac{1}{2}( s_{1} + s_{2} ) − η )} ( \frac{4p^{−2}r( 1 − r )t′}{1 − 4(sin ϑ)^{2}r( 1 − r )t′} )^{η} dηdrdt′ .

求めた内積の式に値を代入して、１本目の式を出す。補題 3.72

⟨ P_{m}( ·, 2 + it ), P_{m}( ·, \overline{2 − it} ) ⟩
= ( 4π | m | )^{−2} + \frac{1}{16} ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−4} S( m, m; l )Φ( t; m, l ) .

但し、

Φ( t; m, l ) := −i ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} r^{it−1}( 1 − r )^{−it−1}t^{′− \frac{1}{2}}

× ∫_{(σ)} \frac{Γ(η)}{Γ( 2 − η )} ( \frac{| l |^{2} r( 1 − r )t′}{( π | m | )^{2} ( 1 − ( 2 sin ϑ_{0} )^{2}r( 1 − r )t′ )} )^{η} dηdrdt′ .

証明 s_{1} = 2 + it、 s_{2} = 2 − it、 m = n と 0 < σ < \frac{1}{2} とする。このとき、補題 3.71 の条件を満たす。補題 3.71 にこれらを代入すると、

B( \frac{2π\sqrt{| mn |}}{| l |}, ϑ_{0}; s_{1}, s_{2} ) = \frac{1}{16π} Φ( t; m, l ) .  (75)

条件と式 (75) を命題 3.59 に代入する。よって、補題 3.72 が示された。

もう１本の式を、別の内積の式に値を代入して求める。

補題 3.73

⟨ P_{m}( ·, 2 + it ), P_{m}( ·, \overline{2 − it} ) ⟩

= \frac{π}{( 4π | m | )^{2}} \frac{1}{|Γ( \frac{3}{2} + it )|^{2}}

× { ∑_{j=1}^{∞} | ρ_{j}(m) |^{2} Λ( 2 + it, 2 − it; iκ_{j} )

+ 2π ∫_{−∞}^{∞} \frac{| σ′_{ir}(m) |^{2}}{|Γ( 1 + ir )ζ_{K}( 1 + ir )|^{2}} Λ( 2 + it, 2 − it; ir ) dr \}

= \frac{π}{( 4π | m | )^{2}} \{ ∑_{j=1}^{∞} | ρ_{j}(m) |^{2} Ψ( t, κ_{j} )

+ 2π ∫_{−∞}^{∞} \frac{| σ′_{ir}(m) |^{2}}{|Γ( 1 + ir )ζ_{K}( 1 + ir )|^{2}} Ψ( t, r ) dr \} .

但し、

Ψ( t, r ) := \frac{π}{|Γ( \frac{3}{2} + it )|^{2}} Λ( 2 + it, 2 − it; ir )

とする。証明 s_{1} = 2 + it、 s_{2} = 2 − it と m = n とする。このとき、命題 3.44 の条件を満たす。命題 3.44 にこれらを代入する。よって、補題 3.73 が示された。

これらで等式を求める。

補題 3.74

∑_{j=1}^{∞} | ρ_{j}(m) |^{2} Ψ( t, κ_{j} ) + 2π ∫_{−∞}^{∞} \frac{| σ′_{ir}(m) |^{2}}{|Γ( 1 + ir )ζ_{K}( 1 + ir )|^{2}} Ψ( t, r ) dr

= 1 + ( π | m | )^{2} ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−4} S( m, m; l )Φ( t; m, l ) .

証明補題 3.72 と補題 3.73 の両辺を比較して、まとめる。よって、補題 3.74 が示された。

補題 3.74 を用いて、 | ρ_{j}(m) |^{2} の挙動を考える。まず、その準備をする。 0 < K かつ K は十分大きいとする。

補題 3.75 条件を満たす ∀t, ∀κ_{j} に対して、 Ψ( t, κ_{j} ) ≥ 0 となる。

証明

Λ( 2 + it, 2 − it, iκ_{j} ) = |Γ( 1 + i( t + κ_{j} ) )|^{2}|Γ( 1 + i( t − κ_{j} ) )|^{2} ≥ 0

より、

Ψ( t, κ_{j} ) = π|Γ( \frac{3}{2} + it )|^{−2}Λ( 2 + it, 2 − it, iκ_{j} ) ≥ 0

よって、補題 3.75 が示された。

補題 3.76

∫_{−∞}^{∞} ( \frac{r}{1 − r} )^{it} ( e^{−( \frac{t}{K} )^{2}} − e^{−( \frac{2t}{K} )^{2}} ) dt = \sqrt{π}Q( r, K ) .

但し、

Q( r, K ) := K exp ( − ( \frac{K}{2} log \frac{r}{1 − r} )^{2} ) − \frac{1}{2} exp ( − ( \frac{K}{4} log \frac{r}{1 − r} )^{2} ) .

証明

∫_{−∞}^{∞} ( \frac{r}{1 − r} )^{it} ( e^{−( \frac{t}{K} )^{2}} − e^{−( \frac{2t}{K} )^{2}} ) dt

= ∫_{−∞}^{∞} e^{−( \frac{t}{K} )^{2}+it log \frac{r}{1−r}} dt − ∫_{−∞}^{∞} e^{−( \frac{2t}{K} )^{2}+it log \frac{r}{1−r}} dt (76)

となるから、２つに分けて計算する。 T_{1} = \frac{t}{K} かつ T_{2} = T_{1} − \frac{i}{2}K log \frac{r}{1−r} とおく。

∫_{−∞}^{∞} e^{−( \frac{t}{K} )^{2}+it log \frac{r}{1−r}} dt = K ∫_{−∞}^{∞} e^{−T_{1}^{2}+iKT_{1} log \frac{r}{1−r}} dT_{1}
= K ∫_{−∞}^{∞} e^{−( T_{1}− \frac{i}{2} K log \frac{r}{1−r} )^{2}−( \frac{1}{2} K log \frac{r}{1−r} )^{2}} dT_{1}
= K ∫_{−∞}^{∞} e^{−T_{2}^{2}}e^{−( \frac{1}{2} K log \frac{r}{1−r} )^{2}} dT_{2}
= Ke^{−( \frac{1}{2} K log \frac{r}{1−r} )^{2}} \sqrt{π}.  (77)

同様に、

∫_{−∞}^{∞} e^{−( \frac{2t}{K} )^{2}+it log \frac{r}{1−r}} dt = \frac{K}{2} e^{−( \frac{1}{4} K log \frac{r}{1−r} )^{2}} \sqrt{π} .  (78)

式 (77) と式 (78) を式 (76) に代入する。よって、補題 3.76 が示された。

補題 3.77 0 ≠ m ∈ Z[ω]^{∗} とする。

∫_{−∞}^{∞} Φ( t; m, l ) ( e^{−( \frac{t}{K} )^{2}} − e^{−( \frac{2t}{K} )^{2}} ) dt = 2π^{\frac{3}{2}} P ( m, l; K ) .

但し、

P ( m, l; K ) := ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} \frac{t^{′− \frac{1}{2}} Q( r, K )}{r( 1 − r )}

×J_{1}^{∗} ( \frac{2π | m |}{| l |} ( \frac{1 − ( 2 sin ϑ_{0} )^{2}r( 1 − r )t′}{r( 1 − r )t′} )^{\frac{1}{2}} ) drdt′ .

証明計算において、絶対収束の仮定を続ける。

−i ∫_{(σ)} \frac{Γ(η)}{Γ( 2 − η )} ( \frac{| l |^{2} r( 1 − r )t′}{( π | m | )^{2} ( 1 − ( 2 sin ϑ_{0} )^{2}r( 1 − r )t′ )} )^{η} (79)

を変形していく。

補題 3.78 [本橋１, p.272 (2.14)] x > 0 かつ − Re ν < 2α < 0 とする。

J_{ν}(x) = \frac{1}{2πi} ∫_{(α)} ( \frac{x}{2} )^{−2η} \frac{Γ( \frac{1}{2}ν + η )}{Γ( 1 + \frac{1}{2}ν − η )} dη .

式 (3.78) の条件を満たすかを考える。 η′ = η − \frac{1}{2} かつ ν = 1 とする。 r と t′ の範囲から、

\sqrt{\frac{1 − ( 2 sin ϑ_{0} )^{2}r( 1 − r )t′}{r( 1 − r )t′}} = \sqrt{\frac{1}{r( 1 − r )t′} − 4( sin ϑ_{0} )^{2}}
< \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{4}} − 4( sin ϑ_{0} )^{2}}
= 2 cos ϑ_{0} .  (80)

補題 3.60 より、 (式 (80)) > 0 となる。\frac{π|m|}{|l|} > 0 より、

\frac{π | m |}{| l |}\sqrt{\frac{1 − ( 2 sin ϑ_{0} )^{2}r( 1 − r )t′}{r( 1 − r )t′}} > 0

となる。また、 0 < σ < \frac{1}{2} であったから、式 (3.78) の条件を満たす。よって、

(式 (79)) = ∫_{( σ− \frac{1}{2} )} \frac{Γ( \frac{1}{2}ν + η′ )}{Γ( 1 + \frac{1}{2}ν − η′ )} ( \frac{π | m |}{| l |}\sqrt{\frac{1 − ( 2 sin ϑ_{0} )^{2}r( 1 − r )t′}{r( 1 − r )t′}} )^{−2( η′+ \frac{1}{2} )} dη′
= 2πi\frac{| l |}{π | m |}\sqrt{\frac{r( 1 − r )t′}{1 − ( 2 sin ϑ_{0} )^{2}r( 1 − r )t′}}

×J_{1} ( \frac{2π | m |}{| l |} ( \frac{1 − ( 2 sin ϑ_{0} )^{2}r( 1 − r )t′}{r( 1 − r )t′} )^{\frac{1}{2}} )

= 2πiJ_{1}^{∗} ( \frac{2π | m |}{| l |} ( \frac{1 − ( 2 sin ϑ_{0} )^{2}r( 1 − r )t′}{r( 1 − r )t′} )^{\frac{1}{2}} ) .  (81)

式 (81) と補題 3.76 を用いて、まとめる。よって、補題 3.77 が示された。

補題 3.79

∑_{\frac{1}{2} K≤κ_{j}≤K} | ρ_{j}(m) |^{2} e^{−πκ_{j}} ≪ K^{2} + K | m |^{2}

× ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−4} |S( m, m; l )||P ( m, l; K )| .

証明以下の計算において、絶対収束を仮定する。 0 < K かつ十分大きいとする。補題 3.74 の両辺に e^{−( \frac{t}{K} )^{2}} − e^{−( \frac{2t}{K} )^{2}}( ≥ 0 ) を掛けて、 ∫_{−∞}^{∞} ⋯ dt を行うと、

\underbrace{∑_{j=1}^{∞} | ρ_{j}(m) |^{2} ∫_{−∞}^{∞} Ψ( t, κ_{j} ) ( e^{−( \frac{t}{K} )^{2}} − e^{−( \frac{2t}{K} )^{2}} ) dt}_{�}

+ \underbrace{2π ∫_{−∞}^{∞} \frac{| σ′_{ir}(m) |^{2}}{|Γ( 1 + ir )ζ_{K}( 1 + ir )|^{2}} ∫_{−∞}^{∞} Ψ( t, r ) ( e^{−( \frac{t}{K} )^{2}} − e^{−( \frac{2t}{K} )^{2}} ) dt}_{�}

= \underbrace{∫_{−∞}^{∞} ( e^{−( \frac{t}{K} )^{2}} − e^{−( \frac{2t}{K} )^{2}} ) dt}_{�}

+ \underbrace{( π | m | )^{2} ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−4} S( m, m; l ) ∫_{−∞}^{∞} Φ( t; m, l ) ( e^{−( \frac{t}{K} )^{2}} − e^{−( \frac{2t}{K} )^{2}} ) dt}_{�}

となる。補題 3.75 と同様に、 Ψ( t, r ) ≥ 0 となる。よって、� ≥ 0 かつ� ≥ 0 となり、� ≤ �+�となる。また、�について、 t = KT と変数変換すると、

� = ∫_{−∞}^{∞} ( e^{−T^{2}} − e^{−4T^{2}} ) K dT
= K \{ ∫_{−∞}^{∞} e^{−T^{2}} dT − \frac{1}{2} ∫_{−∞}^{∞} e^{−T^{2}} dT \}
= \frac{\sqrt{π}}{2} K

となる。よって、

∑_{j=1}^{∞} | ρ_{j}(m) |^{2} ∫_{−∞}^{∞} Ψ( t, κ_{j} ) ( e^{−( \frac{t}{K} )^{2}} − e^{−( \frac{2t}{K} )^{2}} ) dt

≤ \frac{\sqrt{π}}{2} K
+ ( π | m | )^{2} ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−4} S( m, m; l ) ∫_{−∞}^{∞} Φ( t; m, l ) ( e^{−( \frac{t}{K} )^{2}} − e^{−( \frac{2t}{K} )^{2}} ) dt .

式変形に関しては、

� ≫ K^{−1} ∑_{\frac{K}{2} ≤κ_{j}<K} | ρ_{j}(m) |^{2} e^{−πκ_{j}}

を示せばよい。�の無限和と積分を制限する。

� ≫ ∑_{\frac{K}{2} ≤ κ_{j} ≤ K} | ρ_{j}(m) |^{2} ∫ K_{\frac{K}{2}} Ψ( t, κ_{j} ) ( e^{−( \frac{t}{K} )^{2}} − e^{−( \frac{2t}{K} )^{2}} ) dt . (82)

\frac{K}{2} ≤ t ≤ K のとき、

0 < e^{−( \frac{t}{K} )^{2}} − e^{−( \frac{2t}{K} )^{2}} < e^{− \frac{1}{4}} − e^{−4}

なので、

M := min_{\frac{K}{2} ≤t≤K} e^{−( \frac{t}{K} )^{2}} − e^{−( \frac{2t}{K} )^{2}}

とおくと、

∫ K_{\frac{K}{2}} Ψ( t, κ_{j} ) ( e^{−( \frac{t}{K} )^{2}} − e^{−( \frac{2t}{K} )^{2}} ) dt ≥ M ∫ K_{\frac{K}{2}} Ψ( t, κ_{j} ) dt (83)

となる。残りの Ψ( t, κ_{j} ) について考える。

補題 3.80 [数学公式�, p.1] s ∈ C、 y ∈ R とする。

Γ( s + 1 ) = sΓ(s) ,
Γ( s + 1 )Γ( 1 − s ) = \frac{π}{sin( πs )} ,
Γ( s + \frac{1}{2} )Γ( \frac{1}{2} − s ) = \frac{π}{cos( πs )} .

補題 3.81 [Churchill/Brown, p.52 (11),(12), p.54 (21)] y ∈ R かつ s ∈ C とする。

sin( iy ) = i sinh(y) ,
cos( iy ) = cosh(y) ,
| cos(s) |^{2} = (cos( Re s ))^{2} + (sinh( Im s ))^{2} ,
sinh(s) = \frac{e^{s} − e^{−s}}{2} ,
cosh(s) = \frac{e^{s} + e^{−s}}{2} .

3.80 と 3.81 より、

|Γ( 1 + i( t + κ_{j} ) )|^{2} = i( t + κ_{j} )Γ( i( t + κ_{j} ) )Γ( 1 − i( t + κ_{j} ) )
= \frac{π( t + κ_{j} )}{sinh( π( t + κ_{j} ) )} .  (84)
|Γ( 1 + i( t − κ_{j} ) )|^{2} = \frac{π( t − κ_{j} )}{sinh( π( t − κ_{j} ) )} .  (85)
|Γ( \frac{3}{2} + it )|^{2} = \frac{π( t^{2} + \frac{1}{4} )}{cosh( πt )} .  (86)

式 (83) に式 (84)、式 (85) と式 (86) を代入する。 t ≥ κ_{j} のとき、

(式 (83)) ≥ 2Mπ^{2} ∫ K_{\frac{K}{2}} \frac{t^{2} − κ_{j}^{2}}{t^{2} + \frac{1}{4}} · \frac{e^{πt} + e^{−πt}}{e^{2πt} − e^{−2πκ_{j}} − e^{2πκ_{j}} + e^{−2πt}} dt . (87)

このうち、

\frac{e^{πt} + e^{−πt}}{e^{2πt} − e^{−2πκ_{j}} − e^{2πκ_{j}} + e^{−2πt}} ≥ \frac{e^{πt} + e^{−πt}}{e^{2πt} + e^{−2πt}}
≥ \frac{e^{πt} + e^{−πt}}{( e^{πt} + e^{−πt} )^{2}}
≥ \frac{1}{e^{πt} + e^{−πt}}
= ( 2 cosh( πt ) )^{−1}

であり、

M_{1} := min_{\frac{K}{2} ≤ t ≤ K}( 2 cosh( πt ) )^{−1}

とする。 K は十分大きいので、 1 ≤ t としてよい。このとき、 1 ≤ te^{π \frac{t}{2}} である。\frac{K}{2} ≤ t ≤ K に注意して、

(式 (87)) ≥ 2π^{2}MM_{1} ∫ K_{\frac{K}{2}} \frac{t^{2} − κ_{j}^{2}}{t^{2} + \frac{1}{4}} dt
≫ ∫ K_{\frac{K}{2}} \frac{t^{2} − κ_{j}^{2}}{t^{3} + \frac{1}{4}t} · e^{−π \frac{t}{2}} dt

≫ K^{−1}e^{−π \frac{K}{2}}
≥ K^{−1}e^{−πκ_{j}} .

t < κ_{j} のとき、

(式 (83)) ≥ 2Mπ^{2} ∫ K_{\frac{K}{2}} \frac{κ_{j}^{2} − t^{2}}{t^{2} + \frac{1}{4}} · \frac{e^{πt} + e^{−πt}}{−e^{2πt} + e^{−2πκ_{j}} + e^{2πκ_{j}} − e^{−2πt}} dt . (88)

このうち、

\frac{e^{πt} + e^{−πt}}{−e^{2πt} + e^{−2πκ_{j}} + e^{2πκ_{j}} − e^{−2πt}} ≥ \frac{e^{πt} + e^{−πt}}{e^{2πκ_{j}} + e^{−2πκ_{j}}}
≥ \frac{2}{( e^{πκ_{j}} + e^{−πκ_{j}} )^{2}}

であり、

M_{2} := ( cosh( πκ_{j} ) )^{−2}

とおく。 K は十分大きいので、 1 ≤ t としてよい。このとき、 1 ≤ te^{π \frac{t}{2}} である。\frac{K}{2} ≤ t ≤ K に注意して、

(式 (88)) ≥ 4π^{2}MM_{2} ∫ K_{\frac{K}{2}} \frac{t^{2} − κ_{j}^{2}}{t^{2} + \frac{1}{4}} dt
≫ ∫ K_{\frac{K}{2}} \frac{t^{2} − κ_{j}^{2}}{t^{3} + \frac{1}{4}t} · e^{−π \frac{t}{2}} dt
≫ K^{−1}e^{−π \frac{K}{2}}
≥ K^{−1}e^{−πκ_{j}} .

よって、補題 3.79 の式変形は示された。そこで、補題 3.79 の右辺の存在を考える。

補題 3.82

∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−4} |S( m, m; l )||P ( m, l; K )| < ∞ .

証明 P ( m, l; K ) について考える。

u := \frac{2π | m |}{| l |} ( \frac{1 − ( 2 sin ϑ_{0} )^{2}r( 1 − r )t′}{r( 1 − r )t′} )^{\frac{1}{2}}

とおくと、補題 3.62 の条件を満たすので、

|J_{1}^{∗}(u)| ≤ \frac{2}{π} ∫_{0}^{π} | cos( u cos θ ) || sin θ |^{2} dθ
≤ 2 .  (89)

補題 3.83 [本橋２, p.54]

∫_{0}^{1} \frac{Q( r, K )}{r( 1 − r )} dr = 0 .

式 (89) と補題 3.83 より、

|P ( m, l; K )| ≤ 2 ∫_{0}^{1} t^{′− \frac{1}{2}} dt′ ≪ ∞ .  (90)

よって、補題 3.6、補題 3.7 と式 (90) より、

∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−4}| l || ( l, m, n ) | σ_{0}(l) ≪ ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−3+2ε}
≤ 6 + ∫_{0}^{2π} ∫_{1}^{∞} r^{−2−2ε} dr
< ∞ .

よって、補題 3.82 が示された。

後は、補題 3.79 の計算過程での絶対収束を示せばよい。

補題 3.84 補題 3.79 の式変形において、和と積分の順序は交換できる。

証明以下の４つを示せばよい。

∫_{−∞}^{∞} ∑_{\frac{K}{2} ≤κ_{j}≤K} | ρ_{j}(m) |^{2} Ψ( t, κ_{j} ) ( e^{−( \frac{t}{K} )^{2}} − e^{−( \frac{2t}{K} )^{2}} ) dt < ∞ .  (91)

2π ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} |\frac{| σ′_{ir}(m) |^{2}}{|Γ( 1 + ir )ζ_{K}( 1 + ir )|^{2}} Ψ( t, r ) ( e^{−( \frac{t}{K} )^{2}} − e^{−( \frac{2t}{K} )^{2}} )| dt < ∞ . (92)
∫_{−∞}^{∞} |( e^{−( \frac{t}{K} )^{2}} − e^{−( \frac{2t}{K} )^{2}} )| dt < ∞ .  (93)

( π | m | )^{2} ∫_{−∞}^{∞} ∑_{0≠l∈Z[ω]} || l |^{−4} S( m, m; l )Φ( t; m, l ) ( e^{−( \frac{t}{K} )^{2}} − e^{−( \frac{2t}{K} )^{2}} )| dt < ∞ .

(94)

K と m を固定する。式 (91) について考える。和は有限和なので、 | ρ_{j}(m) |^{2} の最大値を考える。 Ψ( t, κ_{j} ) に関しては、分母に比べて、分子の Γ-factor の数が２つ多い。そこで、 | t |→ ∞ のときは、 Stirling の公式を用い、 exponential factor に注意する。また、 | t |→ 0 のときは、 κ_{j} の式になり、有限である。よって、

(式 (91) の左辺) ≪ ∞ .

次に、式 (92) について考える。補題 3.85 [Titchmarsh, p.97 Thm. 5.16]

\frac{1}{| ζ_{K}( 1 + it ) |^{2}} ≪ ( \frac{log t}{log( log t )} )^{2} .

補題 3.86 [Titchmarsh, p.98 Thm. 5.17]

( \frac{log t}{log( log t )} )^{2} ≪ \frac{1}{| ζ_{K}( 1 + it ) |^{2}} .

式 (92) において、 t と r のどちらに関しても、分母に比べて、分子の Γ-factor の数が２つ多く、補題 3.85 と補題 3.86 より、\frac{1}{|ζ_{K}( 1+ir )|^{2}} の部分は、 Γ-factor よりも、強い影響を及ぼさない。そこで、 | t |→ ∞ のとき、または、 | r |→ ∞ のときは、 Stirling の公式を用い、 exponential factor に注意する。また、 | t |→ 0 のとき、または | r |→ 0 のときは、

∫_{0}^{1} ⋯ drdt ,

で考えればよい。 | t |→ 0 のときは、 e^{−( \frac{t}{K} )^{2}} −e^{−( \frac{2t}{K} )^{2}} → 0 かつ Ψ( t, r ) < ∞ により、 t に関しては、有限となる。 | r |→ 0 については、 ζ_{K}( s ) は、 s = 1 で１位の極を持つ ([Zagier, p.101]) ので、\frac{1}{|ζ_{K}(1)|} < ∞ となり、 r に関しても、有限となる。また、補題 3.7 より、 0 < ∀ε_{2} とすると、 | σ′_{0}(m) |^{2}≪| m |^{2ε_{2}} となる。よって、

(式 (92) の左辺) ≪ ∞ .

次に、 (式 (93)) について考える。補題 3.79 の計算過程より、

(式 (93) の左辺) ≤ \frac{3}{2}K\sqrt{π} < ∞ .

式 (94) について考える。補題 3.82 の証明と同様に、

( π | m | )^{2} ∑_{0≠l∈Z[ω]} ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} ∫_{−∞}^{∞} || l |^{−4} S( m, m; l )t^{′− \frac{1}{2}} ( \frac{r}{1 − r} )^{it−1}

× J_{1}^{∗} ( \frac{2π | m |}{| l |} ( \frac{1 − ( 2 sin ϑ_{0} )^{2}r( 1 − r )t′}{r( 1 − r )t′} )^{\frac{1}{2}} ) ( e^{−( \frac{t}{K} )^{2}} − e^{−( \frac{2t}{K} )^{2}} )| drdt′dt
≤ 2( π | m | )^{2} ∑_{0≠l∈Z[ω]} ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} | l |^{−3+2ε} t^{′− \frac{1}{2}} \frac{Q( r, K )}{r( 1 − r )}drdt′
≪ ∞ .

よって、補題 3.84 が示された。

補題 3.84 より、式変形での和や積分の交換ができる。よって、補題 3.79 が示された。命題 3.87 0 ≠ m ∈ Z[ω]^{∗} とする。 0 < K ∈ R とする。このとき、 m と K に関して一様に、

∑_{\frac{1}{2} K≤κ_{j}≤K} | ρ_{j}(m) |^{2} e^{−πκ_{j}} ≪ K^{2} + K | m |^{2}

が成立する。

証明 K → 0 のとき、 κ_{j} は存在しないことに注意して、補題 3.79 と補題 3.82 をまとめる。よって、命題 3.87 が示された。

命題 3.87 を用いて、まだ証明していない補題 3.54 を示す。

証明無限和に関しては、 j → ∞ のときを考えればよい。このとき、 Stirling の公式より、 Λ( s_{1}, s_{2}; iκ_{j} ) ≪ e^{−2πκ_{j}} となる。また、 | ρ_{j}(m) |≥| ρ_{j}(n) | とする。よって、命題 3.87 より、

∑_{j=1}^{∞} | ρ_{j}(m) |^{2} e^{−πκ_{j}} · e^{−πκ_{j}} ≪ ∫_{0}^{∞}( K^{2} + K | m | )e^{− \frac{π}{2} K} dK < ∞ .

| ρ_{j}(m) |<| ρ_{j}(n) | も同様になる。

積分に関しては、 t → ∞ のとき、 Γ-factor の数は、分子よりも分母のほうが２つ多い。よって、補題 3.7 と Stirling の公式より、補題 3.84 の証明と同様となる。また、 t → 0 のときも、補題 3.84 の証明と同様となる。

2π ∫_{−∞}^{∞} |( \frac{| n |}{| m |} )^{it} \frac{σ′_{it}(m)σ′_{−it}(n)Λ( s_{1}, s_{2}; it )}{|Γ( 1 + it )ζ_{K}( 1 + it )|^{2}} | dt < ∞ .

よって、補題 3.54 が示された。

3.6 定理の証明

定理 1.8 を示す。

証明補題 3.88

∫_{(0)} λΛ( s, 2; λ )J_{λ}( 2πϖ ) dλ = −π ∫_{[ε]} \frac{r^{2}}{sinh πr} J_{ir}( 2πϖ )Γ( s − 1 + ir )Γ( s − 1 − ir ) dr .

証明 λ = ir と変数変換する。また、 a ∈ R のとき、

∫_{[a]} := ∫_{( − \frac{1}{2} −a )i−∞}^{( − \frac{1}{2} −a )i+∞}

とする。 Im ir = −\frac{1}{2} −ε のとき、 Re ( s−1+ir ) > 1 かつ Re ( s−1−ir ) > 0 である。よって、補題 3.80、補題 3.81 と Cauchy の積分定理を用いて、まとめる。よって、補題 3.88 が示された。命題 3.89

∑_{j=1}^{∞} \frac{\overline{ρ_{j}(m)}ρ_{j}(n)}{sinh( πκ_{j} )}κ_{j}Γ( s − 1 + iκ_{j} )Γ( s − 1 − iκ_{j} )

+2π ∫_{−∞}^{∞} ( \frac{| n |}{| m |} )^{it} \frac{σ′_{it}(m)σ′_{−it}(n)}{|ζ_{K}( 1 + it )|^{2}} Γ( s − 1 + it )Γ( s − 1 − it ) dt

= ( δ_{m,n} + δ_{m,nω} + δ_{m,n\overline{ω}} )2^{−1−2s}π^{−1}Γ( 2s − 1 )

+i ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−2} S( m, n; l ) ∫_{[ε]} \frac{r^{2}}{sinh πr} J_{ir}( 2πϖ )Γ( s − 1 + ir )Γ( s − 1 − ir ) dr .

証明 0 < ∀ε かつ ε を小さくとる。命題 3.44 に、 s_{1} = s を Re s > \frac{3}{2} + ε を満たすようにとる。 s_{2} = 2 を代入する。このとき、 s と s_{2} = 2 は、命題 3.44 の条件を満たす。

補題 3.90 [Zagier, p.22 (11)] ∀s ∈ C のとき、

Γ( \frac{s}{2} )Γ( \frac{s + 1}{2} ) = 2^{1−s}\sqrt{π}Γ(s) .

補題 3.80、補題 3.81 と補題 3.90 を用いる。

⟨ P_{m}( ·, s ), P_{n}( ·, 2 ) ⟩

= 2\frac{( π | m | )^{1−s}}{| n |} · \frac{Γ(s)}{Γ( 2s − 1 )}

× \{ ∑_{j=1}^{∞} \frac{\overline{ρ_{j}(m)}ρ_{j}(n)}{sinh( πκ_{j} )}κ_{j}Γ( s − 1 + iκ_{j} )Γ( s − 1 − iκ_{j} )

+ 2π ∫_{−∞}^{∞} ( \frac{| n |}{| m |} )^{it} \frac{σ′_{it}(m)σ′_{it}(−n)}{|ζ_{K}( 1 + it )|^{2}}Γ( s − 1 + it )Γ( s − 1 − it ) dt \} .

(95)

命題 3.70 に、 s_{1} = s を Re s > \frac{3}{2} + ε を満たすようにとる。 s_{2} = 2 を代入する。このとき、 s と s_{2} = 2 は、命題 3.70 の条件を満たす。補題 3.88 を用いると、

⟨ P_{m}( ·, s ), P_{n}( ·, 2 ) ⟩

= ( δ_{m,n} + δ_{m,nω} + δ_{m,n\overline{ω}} )Γ(s)( 4π | m | )^{−s}

+2i\frac{( π | m | )^{1−s}}{| n |} · \frac{Γ(s)}{Γ( 2s − 1 )}

× ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−2} S( m, n; l ) ∫_{[ε]} \frac{r^{2}}{sinh πr} J_{ir}( 2πϖ )Γ( s − 1 + ir )Γ( s − 1 − ir ) dr .

(96)

式 (95) と式 (96) は等しいので、これらをまとめる。よって、命題 3.89 が示された。命題 3.91

∑_{j=1}^{∞} \frac{\overline{ρ_{j}(m)}ρ_{j}(n)}{sinh( πκ_{j} )}κ_{j}K_{2iκ_{j}}(v)

+2π ∫_{−∞}^{∞} ( \frac{| n |}{| m |} )^{it} \frac{σ′_{it}(m)σ′_{−it}(n)}{|ζ_{K}( 1 + it )|^{2}} K_{2it}(v) dt

= \frac{1}{8π} ( δ_{m,n} + δ_{m,nω} + δ_{m,n\overline{ω}} )ve^{−v}

+i ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−2} S( m, n; l ) ∫_{[ε]} \frac{r^{2}}{sinh πr} J_{ir}( 2πϖ )K_{2ir}(v) dr .

証明 3.89 の両辺に、 0 < v ∈ R を満たす ( \frac{v}{2} )^{2−2s} を掛けて、 ∫_{(2)} ⋯ ds を行う。補題 3.92 この計算過程において、和や積分等の順序を交換できる。証明

∫_{(2)} ∑_{j=1}^{∞} |\frac{\overline{ρ_{j}(m)}ρ_{j}(n)}{sinh( πκ_{j} )}κ_{j}Γ( s − 1 + iκ_{j} )Γ( s − 1 − iκ_{j} ) ( \frac{v}{2} )^{2−2s}| ds < ∞ .  (97)

2π ∫_{(2)} ∫_{−∞}^{∞} |( \frac{| n |}{| m |} )^{it} \frac{σ′_{it}(m)σ′_{−it}(n)}{|ζ_{K}( 1 + it )|^{2}} Γ( s − 1 + it )Γ( s − 1 − it ) ( \frac{v}{2} )^{2−2s}| dtds < ∞ .

(98)

( δ_{m,n} + δ_{m,nω} + δ_{m,n\overline{ω}} ) ∫_{(2)} |2^{−1−2s}π^{−1}Γ( 2s − 1 ) ( \frac{v}{2} )^{2−2s}| ds < ∞ .  (99)

i ∫_{(2)} ∑_{0≠l∈Z[ω]} ∫_{[ε]} || l |^{−2} S( m, n; l )\frac{r^{2}}{sinh πr}

J_{ir}( 2πϖ )Γ( s − 1 + ir )Γ( s − 1 − ir ) ( \frac{v}{2} )^{2−2s}| drds < ∞ .  (100)

式 (97) について考える。補題 3.81 より、

\frac{1}{| sinh( πκ_{j} ) |} = \frac{2}{e^{πκ_{j}} − e^{−πκ_{j}}} = O( e^{−πκ_{j}} ) .  (101)

κ_{j} → ∞ のとき、 Stirling の公式より、

Γ( s − 1 + iκ_{j} ) = O( e^{− \frac{π}{2} κ_{j}} ) ,  (102)
Γ( s − 1 − iκ_{j} ) = O( e^{− \frac{π}{2} κ_{j}} ) .  (103)

また、 | ρ_{j}(m) |≥| ρ_{j}(n) | とする。 κ_{j} → ∞ かつ | Im s |→ ∞ のとき、命題 3.87、式 (102) と式 (103)、より、 exponential factor に注意すると、

(式 (97) の左辺) ≪ ∫_{(2)} ∫_{0}^{∞}( K^{2} + K | m |^{2} )e^{− \frac{π}{2} K}Ke^{− \frac{π}{2} |Im s|} ( \frac{v}{2} )^{−2} dKds < ∞ .

κ_{j} → 0 のみのとき、 | Im s |→ ∞ についてのみ、同様に考えればよい。 | Im s |→ 0 のみのとき、 κ_{j} → ∞ についてのみ、同様に考えればよい。 κ_{j} → 0 かつ | Im s |→ 0 のとき、積分路や和での数が有限であるから、 ( 式 (97) の左辺) < ∞ となる。 | ρ_{j}(m) |<| ρ_{j}(n) | のときも同様になる。

次に、式 (98) について考える。補題 3.84 の証明と式 (97) の証明と同様にすればよい。

次に、式 (99) について考える。 | Im s |→ ∞ のとき、 Stirling の公式より、 exponential factor に注意すると、

(式 (99) の左辺) ≤ \frac{3}{2π} ∫_{1}^{∞} 2^{−2 Re s} | Im 2s |^{Re 2s−1− \frac{1}{2}} e^{−|Im 2s|} ds < ∞.

| Im s |→ 0 のとき、式の形と積分路が有限であることから、 (式 (99) の左辺) < ∞ となる。

次に、式 (100) について考える。このとき、 Re ir = \frac{1}{2} + ε > −\frac{1}{2} である。また、補題 3.62 の条件を満たすように、同一視できる l のイデアルを考える。よって、補題 3.62 より、

| J_{ir}( 2πϖ ) | = \frac{2^{−1−2ε} | 2πϖ |^{1+2ε}}{π|Γ( ir + \frac{1}{2} )|} ∫_{0}^{π} | cos( 2πϖ cos θ ) || ( sin θ )^{2ir} | dθ
× ∫_{0}^{π} | cos( \overline{2πϖ} cos θ ) || ( sin θ )^{2ir} | dθ .  (104)

補題 3.81 より、

| cos( 2πϖ cos θ ) | = \sqrt{(cos( Re 2πϖ cos θ ))^{2} + (sinh( Im 2πϖ cos θ ))^{2}}
≪ e^{Im 2πϖ cos θ} .  (105)

同様に、

cos( \overline{2πϖ} cos θ ) ≪ e^{− Im 2πϖ cos θ} ,  (106)

補題 3.6、式 (105) と式 (106) より、

(式 (104)) ≪ \frac{1}{|Γ( ir + \frac{1}{2} )|}· | l |^{−1−2ε} .  (107)

| Re r |→ ∞ かつ | Im s |→ ∞ のとき、補題 3.81 と Stirling の公式より、

(式 (104)) ≪ e^{π|Re r|} | l |^{−1−2ε} ,
\frac{r}{sinh( πr )} ≪ r · e^{−π|Re r|} ,
Γ( s − 1 + ir ) ≪ e^{− \frac{π}{2} |Re r|} · e^{− \frac{π}{2} |Im s|} ,
Γ( s − 1 − ir ) ≪ e^{− \frac{π}{2} |Re r|} · e^{− \frac{π}{2} |Im s|} .

l について考える。補題 3.6 と補題 3.7 より、 ∀ε_{1} > 0 に対して、 σ_{0}(l) =| l |^{2ε_{1}} とすると、

∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−2+2ε_{1}−2ε}≤ 6 + ∫_{0}^{2π} ∫_{1}^{∞} r^{−2+2ε_{1}−2ε} · r drdθ .  (108)

ε_{1} < ε とすると、

(式 (108)) = \frac{π}{ε − ε_{1}} < ∞

となり、これらを用いて、 exponential factor に注意すると、 (式 (100) の左辺) < ∞ となる。 | Re r |→ 0 のみのとき、 | Im s |→ ∞ についてのみ、同様に考えればよい。 | Im s |→ 0 のみのとき、 | Re r |→ ∞ についてのみ、同様に考えればよい。 | Re r |→ 0 かつ | Im s |→ 0 のとき、式の形と積分路が有限であるから、 (式 (100) の左辺) < ∞ となる。よって、補題 3.92 が示された。

補題 3.92 より、和や積分等の順序を交換して、計算する。

補題 3.93 [本橋１, p.272 (2.15)] u > 0 かつ 2α >| Re ν | のとき、

K_{ν}(u) = \frac{1}{4πi} ∫_{(α)} Γ( η + \frac{1}{2}ν )Γ( η − \frac{1}{2}ν ) ( \frac{u}{2} )^{−2η} dη .

η = s − 1 かつ ν = 2iκ_{j} とおくと、補題 3.93 の条件を満たす。よって、補題 3.93 より、

∫_{(2)} Γ( s − 1 + iκ_{j} )Γ( s − 1 − iκ_{j} ) ( \frac{v}{2} )^{2−2s} ds = 4πiK_{2iκ_{j}}(v) . (109)

同様に、

∫_{(2)} Γ( s − 1 + it )Γ( s − 1 − it ) ( \frac{v}{2} )^{2−2s} ds = 4πiK_{2it}(v) . (110)

η = s − 1 かつ ν = 2ir とおくと、 0 < ε < \frac{3}{2} のとき、補題 3.93 の条件を満たす。よって、補題 3.93 より、

∫_{(2)} Γ( s − 1 + ir )Γ( s − 1 − ir ) ( \frac{v}{2} )^{2−2s} ds = 4πiK_{2ir}(v) . (111)

補題 3.94 [数学公式�, p.8] a > 0 のとき、

∫_{−∞}^{∞} Γ( a − t )z^{t} dt = 2πiz^{a}e^{−z} .

補題 3.94 より、

∫_{−∞}^{∞} Γ( a + t )z^{−t} dt = 2πiz^{a}e^{−z} .  (112)

−t = 2−2s かつ a = 1 とおくと、補題 3.94 の条件を満たす。また、 Re 2s−1 = 3 > 0 より、 Γ-function に極はない。 Cauchy の積分定理より、

( δ_{m,n} + δ_{m,nω} + δ_{m,n\overline{ω}} ) ∫_{(2)} 2^{−1−2s}π^{−1}Γ( 2s − 1 ) ( \frac{v}{2} )^{2−2s} ds

= \frac{1}{8π} ( δ_{m,n} + δ_{m,nω} + δ_{m,n\overline{ω}} ) · ∫_{(2)} Γ( 2s − 1 )v^{2−2s} ds
= \frac{1}{8π} ( δ_{m,n} + δ_{m,nω} + δ_{m,n\overline{ω}} ) · 4πive^{−v} .  (113)

式 (109)、式 (110)、式 (111) と式 (113) を用いて、まとめる。よって、命題 3.91 が示された。

命題 3.91 の両辺に、

g(v) = \frac{1}{π^{2}v} ∫_{−∞}^{∞} ξ sinh( πξ )K_{iξ}(v)h( \frac{ξ}{2} ) dξ

を掛けて、 ∫_{0}^{∞} ⋯ dv を行う。

補題 3.95 この計算過程において、和や積分等の順序を交換できる。

証明

∫_{0}^{∞} ∑_{j=1}^{∞} |\frac{\overline{ρ_{j}(m)}ρ_{j}(n)}{sinh( πκ_{j} )}κ_{j}K_{2iκ_{j}}(v)g(v)| dv < ∞ .  (114)

2π ∫_{0}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} |( \frac{| n |}{| m |} )^{it} \frac{σ′_{it}(m)σ′_{−it}(n)}{|ζ_{K}( 1 + it )|^{2}} K_{2it}(v)g(v)| dtdv < ∞ .  (115)
\frac{1}{8π} ∫_{0}^{∞} |( δ_{m,n} + δ_{m,nω} + δ_{m,n\overline{ω}} )ve^{−v}g(v)| dv < ∞ .  (116)

i ∫_{0}^{∞} ∫_{[ε]} ∑_{0≠l∈Z[ω]} || l |^{−2} S( m, n; l )\frac{r^{2}}{sinh πr} J_{ir}( 2πϖ )K_{2ir}(v)g(v)| drdv < ∞ .

(117)

補題 3.96 [本橋２, p.82-83] 0 < ∀δ を満たし、かつ小さいとする。

g(v) ≪ \{ \begin{matrix}v^{− \frac{1}{2} +2δ} & v → 0 + のとき , \\ e^{−v} & v → +∞ のとき . \end{matrix}

∀v ≥ 0 かつ | r |≥ 1 を満たす r ∈ C とする。

K_{2ir}(v) ≪ v^{2 Im r}e^{−|r|} .

式 (114) について考える。 3.91 の証明と同様に考える。

\frac{κ_{j}}{sinh( πκ_{j} )} = O(κ_{j} e^{−πκ_{j}} )  (118)

である。また、 | \overline{ρ_{j}(m)} |≥| ρ_{j}(n) | とおく。 1 ≤ κ_{j} のとき、補題 3.96 の条件を満たす。よって、命題 3.87 と補題 3.96 より、 exponential factor に注意すると、

(式 (114)) ≪ ∫_{0}^{∞} ∫_{1}^{∞} ∑_{\frac{K}{2} ≤κ_{j}≤K} \overline{ρ_{j}(m)}ρ_{j}(n)e^{−πκ_{j}}v^{2 Im κ_{j}}κ_{j}e^{−|κ_{j}|}g(v) dKdv
≪ ∫_{0}^{∞} ∫_{1}^{∞}( K^{3} + K^{2} | m | )e^{− \frac{K}{2}} g(v) dKdv
≪ ∫_{0}^{1} v^{− \frac{1}{2} +2δ}dv · ∫_{1}^{∞} e^{−v}dv < ∞ .  (119)

| \overline{ρ(m)} |<| ρ(n) | のときも、同様に計算する。 0 < κ_{j} < 1 のとき、 K での積分路は有限である。式 (109) より、 κ_{j} と v に対して、 K_{2iκ_{j}}(v) は、収束する。 v に対しては、同様に考える。よって、式 (114) は成立する。

式 (115) について、補題 3.84 の証明と式 (114) の証明と同様に考える。式 (116) について考える。補題 3.96 より、 exponential factor に注意すると、

(式 (116)) ≪ ∫_{0}^{1} ve^{−v}v^{− \frac{1}{2} +2δ} dv + ∫_{1}^{∞} ve^{−v}e^{−v} dv
≪ ∫_{0}^{1} v^{\frac{1}{2} +2δ} dv .  (120)

δ < \frac{3}{4} のとき、

(式 (120)) < ∞ .

式 (117) について考える。補題 3.6 と補題 3.96 より、式 (100) の証明と同様に、 1 ≤| r | のとき、 exponential factor に注意すると、 r と v に関して、式 (117) は成立する。 0 ≤| r |< 1 のとき、 r の積分路は有限である。式の形から、 r に関して、式 (117) は成立する。 v に関しては、 1 ≤| r | のときと同様にする。後は、 l について考える。補題 3.6 と補題 3.7 より、 ∀ε_{1} > 0 に対して、 σ_{0}(l) =| l |^{2ε_{1}} とする。式 (100) の証明と同様に、 ε_{1} < ε のとき、式 (117) は成立する。よって、補題 3.95 が成立する。

補題 3.97 [本橋２, p.269-270 Lemma.2] r ∈ C とする。関数 h(r) を偶関数かつ、 0 < ∃α に対して、 | Im r |≤ α で正則し、 h(r) ≪ e^{−2π|r|} を満たすとする。 | Im t |< α のとき、

h(t) = π^{−2} ∫_{0}^{∞} K_{it}(v)v^{−1} ∫_{−∞}^{∞} r sinh( πr )K_{ir}(v)h(r) drdv .

補題 3.97 を満たすように、 0 < d ∈ R として、 h(r) を h(r)e^{−d|r|^{2}} と置き換える。

補題 3.98 [本橋１, p.285]

∫_{0}^{∞} ve^{−v}g(v) dv = 8π^{−1} ∫_{−∞}^{∞} r^{2}h(r) dr .

補題 3.95 より、和や積分等の順序を交換して、計算する。 h(r) は補題 3.97 の条件を満たす。よって、補題 3.97 より、

∫_{0}^{∞} K_{2iκ_{j}}(v)g(v) dv = h(κ_{j}) ,  (121)
∫_{0}^{∞} K_{2it}(v)g(v) dv = h(t) ,  (122)
∫_{0}^{∞} K_{2ir}(v)g(v) dv = h(r) .  (123)

また、補題 3.98 より、

\frac{1}{8π} ∫_{0}^{∞}( δ_{m,n} + δ_{m,nω} + δ_{m,n\overline{ω}} )ve^{−v}g(v) dv

= π^{−2}( δ_{m,n} + δ_{m,nω} + δ_{m,n\overline{ω}} ) ∫_{−∞}^{∞} r^{2}h(r) dr .  (124)

また、 Cauchy の積分定理より、

i ∫_{[ε]} \frac{r^{2}}{sinh πr} J_{ir}( 2πϖ )h(r) dr = i ∫_{−∞}^{∞} \frac{r^{2}}{sinh πr} J_{ir}( 2πϖ )h(r) dr
= ȟ( 2πϖ ) .  (125)

式 (121)、式 (123)、式 (124) と式 (125) を用いて、まとめる。

h(r) の条件を緩くすることを考える。導いた等式において、関数 h(r) の条件を h(r) ≪ ( 1+ | r | )^{−4−ε} として考える。このとき、それぞれの式で収束が成り立てば、この等式は存在し、成立する。

命題 3.99 以下の４つを示せばよい。

∑_{j=1}^{∞} |\frac{\overline{ρ_{j}(m)}ρ_{j}(n)}{sinh( πκ_{j} )}κ_{j}h(κ_{j})| < ∞ .  (126)

2π ∫_{−∞}^{∞} |( \frac{| n |}{| m |} )^{it} \frac{σ′_{it}(m)σ′_{−it}(n)}{|ζ_{K}( 1 + it )|^{2}} h(t)| dt < ∞ .  (127)
π^{−2} ∫_{−∞}^{∞} |( δ_{m,n} + δ_{m,nω} + δ_{m,n\overline{ω}} )r^{2}h(r)| dr < ∞ . (128)
∑_{0≠l∈Z[ω]} || l |^{−2} S( m, n; l )ȟ( 2πϖ )| < ∞ .  (129)

証明補題 3.95 と同様に考える。まず、式 (126) を考える。 | \overline{ρ_{j}(m)} |≥| ρ_{j}(n) | とおくと、命題 3.87 と式 (118) より、

(式 (126) の左辺) ≪ ∫_{0}^{∞} ∑_{\frac{K}{2} ≤κ_{j}≤K} | ρ_{j}(m) |^{2} e^{−πκ_{j}}κ_{j}h(κ_{j}) dK
≪ ∫_{0}^{∞}( K^{3} + K^{2} | m | )( 1+ | K | )^{−4−ε} dK
≪ ∫_{0}^{∞}( 1 + K )^{−1−ε} < ∞ .

次に、式 (127) を考える。補題 3.95 と同様に考えると、

(式 (127) の左辺) ≪ ∞.

次に、式 (128) を考える。

(式 (128) の左辺) ≪ π^{−2} ∫_{−∞}^{∞} |( δ_{m,n} + δ_{m,nω} + δ_{m,n\overline{ω}} )r^{2}h(r)| dr
≪ ∫_{−∞}^{∞}( 1+ | r | )^{−2−ε}dr < ∞.

次に、式 (129) を考える。 0 < ∀ε_{1} とする。 | r |→ ∞ のとき、補題 3.62 と Stirling の公式から、

| J_{ir}(t) |=| J_{ir}(t)J_{ir}(\overline{t}) |= e^{−π|r|} | l |^{−1−2ε}

となる。 | r |→ 0 のときは、補題 3.95 と同様である。よって、補題 3.95 と同様に考えると、 ε_{1} < ε のとき、

(式 (129) の左辺) ≪ ∑_{0≠l∈Z[ω]} | l |^{−2−2ε+2ε_{1}} < ∞.

よって、命題 3.99 が示された。

以上をまとめる。よって、本論文の定理 1.8 が証明された。

参考文献

[Churchill/Brown] R. V. Churchill and J. W. Brown. 中野實訳、『複素関数入門（原書第４版）』サイエンティスト社、（１９９９年）

[Elstrodt etc.] J. Elstrodt, F. Grunewald and J. Mennicke. Groups Acting on Hyperbolic Space (Harmonic Analysis and Number Theory). Springer, (1997).

[Erdélyi etc.] A. Erdélyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, F. G. Tricomi. Higher Transcendental Functions, vol. 2. Mcgraw-Hill book company, (1953).

[長谷川] 長谷川泰子著、「約数関数 d(n) の評価について」、『『数学研究法』セミナー報告集』（２００１年度）

[Kuznecov] N. V. Kuznecov. Petersson’s conjecture for cusp forms of weight zero and Linnik’s conjecture. Sums of Kloosterman sums. Math. USSR Sbornik vol. 39, (1981), No. 3.

[三井] 三井孝美著、『解析的数論』岩波書店、（１９８９年)

[数学公式�] 森口繁一、宇田川�久、一松信著、『数学公式�—特殊関数—』岩波全書２４４、岩波書店、（１９８４年）

[本橋１] Y. Motohashi. Trace Formula over the Hyperbolic Upper Half Space. Lecture Notes 247. London Math. Soc. , (1997).

[本橋２] Y. Motohashi. Spectral Theory of the Riemann Zeta-Function. Cambridge, (1997).

[Sarnak] P. Sarnak. The arithmetic and geometry of some hyperbolic three manifolds. Acta Math. , 151. (1983).

[高木] 高木貞治著、『初等整数論講義 第２版』共立出版、（１９９９年）

[田村] 田村二郎著、『数学選書３ 解析関数（新版）』裳華房、（１９９６年）

[Titchmarsh] E. C. Titchmarsh. The Theory of the Riemann Zeta-Funciton. Oxford, (1967).

[Watson] G. N. Watson. A Treatise on the Theory of Bessel Functions Second Edition. Cambridge, (1966).

[Zagier] D. B. Zagier. 片山孝次訳、『数論入門—ゼータ関数と２次体—』岩波書店、（１９９０年）