自然数を N = A^{2} + 2B^{2} と表す方法の総数

慶應義塾大学理工学部１年フ組 60205503 加藤祐子

1 背景と概略

与えられた正の数 N に対して, D_{1} = (N を割る整数 d で d ≡ 1 (mod 4) を満たす数の個数),

D_{3} = (N を割る整数 d で d ≡ 3 (mod 4) を満たす数の個数)

とおく. このとき N は２つの平方数の和にちょうど R(N) = 4(D_{1} − D_{3}) 通り

に表すことができる.

上の定理は、２平方和定理 (ルジャンドル) として知られている。 (文献 [1] p.245) これは次の命題 (文献 [3] 命題 0.2) を用いて証明できる (文献 [1] p.246)。

p が 4 でわると 1 余る素数なら

p = x^{2} + y^{2}

となる自然数 x, y が存在するが, 4 でわると 3 あまる素数 p については, p = x^{2} + y^{2} となる有理数 x, y さえ存在しない.

これらを踏まえ、次に述べる命題を用いて N = A^{2} + 2B^{2} の表し方の総数を求める式を導いた。

2 命題 (文献 [3] 命題 0.3)

p が 8 でわると 1 または 3 余る素数ならば p = x^{2} + 2y^{2}

となる自然数 x, y が存在するが、 8 でわると 5 または 7 余る素数 p については、 p = x^{2} + 2y^{2} となる有理数 x, y さえ存在しない。

3 主定理

与えられた正の数 N に対して, D_{1} = (N を割る整数 d で d ≡ 1 (mod 8) を満たす数の個数),

D_{3} = (N を割る整数 d で d ≡ 3 (mod 8) を満たす数の個数),
D_{5} = (N を割る整数 d で d ≡ 5 (mod 8) を満たす数の個数),
D_{7} = (N を割る整数 d で d ≡ 7 (mod 8) を満たす数の個数)

とおく. このとき N は N = A^{2} + 2B^{2} (A, B ∈ ℤ) という和にちょうど R(N) = 2(D_{1} + D_{3} − D_{5} − D_{7}) 通り

に表すことができる.

4 証明

証明は２つのステップで進める。最初に R(N) に対する公式を導き、次に D_{1} + D_{3} − (D_{5} + D_{7}) に対する公式を証明し、２つの公式を比較することにより証明完了とする。

4.1 R(N) に対する公式

正の数を N = 2^{t} \underbrace{p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}} ⋯ p_{r}^{e_{r}}}_{素数≡1,3 mod 8}· \underbrace{q_{1}^{f_{1}}q_{2}^{f_{2}} ⋯ q_{s}^{f_{s}}}_{素数≡5,7 mod 8} と分解する。

補題より、 p_{j} は p_{j} = a_{j}^{2} + 2b_{j}^{2} = (a_{j} + \sqrt{2}b_{j}i)(a_{j} − \sqrt{2}b_{j}i) (j = 1, 2, 3, ⋯, r) と ℤ[\sqrt{−2}] = \{a + \sqrt{2}bi; a, b ∈ ℤ\} の中で積の形に分解でき、 q_{j} は分解できない。また、整数 2 は 2 = (\sqrt{2})^{2} と分解されるので、 N を素元分解すると

N = (\sqrt{2})^{2t} ((a_{1} + \sqrt{2}b_{1}i)(a_{1} − \sqrt{2}b_{1}i))^{e_{1}} ((a_{2} + \sqrt{2}b_{2}i)(a_{2} − \sqrt{2}b_{2}i))^{e_{2}}
⋯ ((a_{r} + \sqrt{2}b_{r}i)(a_{r} − \sqrt{2}b_{r}i))^{e_{r}} · q_{1}^{f_{1}}q_{2}^{f_{2}} ⋯ q_{s}^{f_{s}}

となる。

今、 N を N = A^{2} + 2B^{2} と表したいので、この式を N = (A + \sqrt{2}Bi)(A − \sqrt{2}Bi)

とする。素元分解の一意性^{∗1}により、 A + \sqrt{2}Bi は N を割る素元の積であり、 A − \sqrt{2}Bi は残った素元の積になる。

∗1 ＜素元＞ ℤ[\sqrt{−2}] の元 α が素元であるとは、 α は 0 でも単数でもない、かつ、 ab ∈ ℤ[\sqrt{−2}] で ab が α で割り切れれ

ば、 a または b が α で割り切れる、を満たすことである。

＜素元分解の法則＞ ℤ[\sqrt{−2}] の 0 でも単数でもない元 a は、

a = α_{1} ⋯ α_{r} (r ≥ 1, α_{1}, ⋯, α_{r}は ℤ[\sqrt{−2}] の素元)

という素元の積の形にひととおりに分解される (文献 [3] p.108)。

また、 A + \sqrt{2}Bi と A − \sqrt{2}Bi はお互い共役なので、ある素元のべき乗 (a + \sqrt{2}bi)^{e} が A + \sqrt{2}Bi を割れば、共役の素元のべき乗 (a − \sqrt{2}bi)^{e} は A − \sqrt{2}Bi を割る。

同じ理由で、 q^{f} が A + \sqrt{2}Bi を割れば、 A − \sqrt{2}Bi も割る。よって、指数 f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{s} のどれかが奇数であれば、 N は N = A^{2}+2B^{2} と表せないので、 R(N) = 0 である。

よって、 f_{1}, f_{2}, ⋯, f_{s} はすべて偶数とすると、 N は N = A^{2} + 2B^{2} と表せ、 A + \sqrt{2}Bi は、上記の理由より

A + \sqrt{2}Bi = u(\sqrt{2})^{t} ((a_{1} + \sqrt{2}b_{1}i)^{x_{1}}(a_{1} − \sqrt{2}b_{1}i)^{e_{1}−x_{1}})

⋯ ((a_{r} + \sqrt{2}b_{r}i)^{x_{r}}(a_{r} − \sqrt{2}b_{r}i)^{e_{r}−x_{r}}) · q_{1}^{f_{1}/2}q_{2}^{f_{2}/2} ⋯ q_{s}^{f_{s}/2}
( 0 ≤ x_{1} ≤ e_{1} , 0 ≤ x_{2} ≤ e_{2} , ⋯, 0 ≤ x_{r} ≤ e_{r} )

と表せる。ここで u は単数であり、 ℤ[\sqrt{−2}] では、 ±1 の２つである。^{∗2}

A + \sqrt{2}Bi の選択の可能性の総数は、 N = A^{2} + 2B^{2} と表す方法の総数で、 2(e_{1} + 1)(e_{2} + 1) ⋯ (e_{r} + 1)

だけあることがわかる。

まとめると、

N = 2^{t} \underbrace{p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}} ⋯ p_{r}^{e_{r}}}_{素数≡1,3 mod 8}· \underbrace{q_{1}^{f_{1}}q_{2}^{f_{2}} ⋯ q_{s}^{f_{s}}}_{素数≡5,7 mod 8} と分解されたとき

\begin{aligned}R(N) : & = (N = A^{2} + 2B^{2} (A, B ∈ ℤ) と表す方法の総数) \\ & = \{ \begin{matrix}2(e_{1} + 1)(e_{2} + 1) ⋯ (e_{r} + 1) & f_{1}, ⋯, f_{s}はすべて偶数 \\ 0 & f_{1}, ⋯, f_{s}の中に奇数がある \end{matrix} \end{aligned}

4.2 例

どのような N が A^{2} + 2B^{2} で表せるか調べようと、表計算ソフトで、 A, B に 1 から整数を代入していった。 N の例を挙げてみる。

・ N = 225 = 3^{2} × 5^{2} のとき (A, B) = (±5, ±10) (複合任意), (±15, 0) となり、６通りである。 p_{1} = 3, e_{1} = 2, q_{1} = 5, f_{1} = 2 であるので、上記の R(N) の式を使うと、 R(N) = 2×(e_{1} +1) = 6 となり、事実と一致する。

・ N = 2811 = 3 × 937 のとき (A, B) = (±53, ±1), (±19, ±35) (複合任意) となり、８通りである。 p_{1} = 3, p_{2} = 937, e_{1} = e_{2} = 1 であるので、 R(N) = 2 × (e_{1} + 1)(e_{2} + 1) = 8 となり、これも事実と一致する。

∗2 ＜証明＞ α = a + \sqrt{2}bi (a, b ∈ ℤ) が単数であるとすると、ある整数 c, d が存在して、 β = c + \sqrt{2}di とおいたとき、

αβ = 1 となる。この両辺で共役複素数を取ると、 α, \overline{α} はともに単数であることがわかり、 α\overline{α} = a^{2} + 2b^{2} も単数と

なる。これは正の整数なので、 a^{2} + 2b^{2} = 1 となるしかない。このような a, b は b = 0 のときしかなく、 a = ±1 の２

個となる。

・ N = 33 = 3 × 11 のとき (A, B) = (±5, ±2), (±1, ±4) (複合任意) となり、８通り。 p_{1} = 3, p_{2} = 11, e_{1} = e_{2} = 1 であるので、 R(N) = 2 × (e_{1} + 1)(e_{2} + 1) = 8 また、 33 の約数をあげると、 1,3,11,33。 D_{1} = 2, D_{3} = 2 なので、 R(N) = 2(2 + 2) = 8

・ N = 75 = 3 × 5^{2} 同じように R(N) を求めると、 R(N) = 4. 約数をあげると、 1, 3, 5, 9, 15, 25, 75 より、 D_{1} = D_{3} = 2, D_{5} = D_{7} = 1 ここで、 D_{1} + D_{3} − D_{5} − D_{7} = 2

ルジャンドルの二平方和定理や、上の例より

(e_{1} + 1)(e_{2} + 1) ⋯ (e_{r} + 1) = D_{1} + D_{3} − (D_{5} + D_{7})

と予想できる。

4.3 D_{1} + D_{3} − (D_{5} + D_{7}) に対する公式

整数 N を有理整数の積

N = 2^{t} \underbrace{p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}} ⋯ p_{r}^{e_{r}}}_{素数≡1,3 mod 8}· \underbrace{q_{1}^{f_{1}}q_{2}^{f_{2}} ⋯ q_{s}^{f_{s}}}_{素数≡5,7 mod 8}

に分解したとする。

D_{1} = (N を割る整数 d で d ≡ 1 (mod 8) を満たす数の個数),
D_{3} = (N を割る整数 d で d ≡ 3 (mod 8) を満たす数の個数),
D_{5} = (N を割る整数 d で d ≡ 5 (mod 8) を満たす数の個数),
D_{7} = (N を割る整数 d で d ≡ 7 (mod 8) を満たす数の個数)

とおく。このとき D_{1} + D_{3} − (D_{5} + D_{7}) は規則

D_{1} + D_{3} − (D_{5} + D_{7}) = \{ \begin{matrix}(e_{1} + 1)(e_{2} + 1) ⋯ (e_{r} + 1) & f_{1}, ⋯, f_{s}はすべて偶数 \\ 0 & f_{1}, ⋯, f_{s}の中に奇数がある \end{matrix}

により与えられる。

証明. s に関する帰納法で証明する。

(I) s = 0 のとき N = 2^{t}p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}} ⋯ p_{r}^{e_{r}} d = p_{1}^{u_{1}}p_{2}^{u_{2}} ⋯ p_{r}^{u_{r}} (1 ≤ u_{i} ≤ e_{i}) は N の奇数の約数で、 d ≡ 1, 3 (mod 8) を満たす。

よって、

D_{1} + D_{3} − (D_{5} + D_{7}) = D_{1} + D_{3} = (e_{1} + 1)(e_{2} + 1) ⋯ (e_{r} + 1)

(II) s = k − 1 のとき成り立つと仮定して、 s = k のとき成り立つことを示す。

N = 2^{t}p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}} ⋯ p_{r}^{e_{r}} · q_{1}^{f_{1}}q_{2}^{f_{2}} ⋯ q_{k−1}^{f_{k−1}} · q_{k}^{f_{k}}

ここで、 n = 2^{t}p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}} ⋯ p_{r}^{e_{r}} · q_{1}^{f_{1}}q_{2}^{f_{2}} ⋯ q_{k−1}^{f_{k−1}} とおく。

(i) f_{k}:奇数の場合 N の奇数の約数は q_{k}^{i}d (0 ≤ i ≤ f_{k} , d は奇数で n の約数) で得られる。

n の各約数 d に対して、 N の奇数の約数は f_{k} + 1 個 (q_{k}^{0}d, q_{k}^{1}d, ⋯, q_{k}^{f_{k}}d) ある。これらの約数の半分が 8 で割って 1 または 3 余る数で、残りの半分が 8 で割って 5 または 7 余る数になる。よって

D_{1} + D_{3} = D_{5} + D_{7}
∴ D_{1} + D_{3} − (D_{5} + D_{7}) = 0

(ii) f_{k}:偶数の場合

(i) と同じ理由で、 n の各約数 d に対して、 N の奇数の約数 q_{k}^{0}d, q_{k}^{1}d, ⋯, q_{k}^{f_{k−1}}d の f_{k} 個については、半分が 8 で割って 1 または 3 余り、

残りの半分が 8 で割って 5 または 7 余る。 N の奇数の約数 q_{k}^{f_{k}} について、 f_{k} は偶数であるから、

q_{k}^{f_{k}} ≡ 1, 3 (mod 8)

d ≡ 1 (mod 8) ならば q_{k}^{f_{k}}d ≡ 1, 3 (mod 8)
d ≡ 3 (mod 8) ならば q_{k}^{f_{k}}d ≡ 1, 3 (mod 8)
d ≡ 5 (mod 8) ならば q_{k}^{f_{k}}d ≡ 5, 7 (mod 8)
d ≡ 7 (mod 8) ならば q_{k}^{f_{k}}d ≡ 5, 7 (mod 8)

すなわち、 d は n の約数であるので、 (N に対する D_{1} + D_{3} − (D_{5} + D_{7}))= (n に対する D_{1} + D_{3} − (D_{5} + D_{7}))

帰納法の仮定より

(n に対する D_{1} + D_{3} − (D_{5} + D_{7}))

= \{ \begin{matrix}(e_{1} + 1)(e_{2} + 1) ⋯ (e_{r} + 1) & f_{1}, ⋯, f_{k−1}はすべて偶数 \\ 0 & f_{1}, ⋯, f_{k−1}の中に奇数がある \end{matrix}

が成り立つので、

(N に対する D_{1} + D_{3} − (D_{5} + D_{7}))

= \{ \begin{matrix}(e_{1} + 1)(e_{2} + 1) ⋯ (e_{r} + 1) & f_{1}, ⋯, f_{k}はすべて偶数 \\ 0 & f_{1}, ⋯, f_{k}の中に奇数がある \end{matrix}

が成り立つ。よって、 0 以上のすべての整数 s について成り立つ。 □ 4.1 , 4.3 より

R(N) = 2(D_{1} + D_{3} − D_{5} − D_{7})

が示された。 □

5 考察

今回は ℤ[i] と ℤ[\sqrt{−2}] の性質が似ていたため、ルジャンドルの二平方和定理と同じように証明することができ、公式も同じようにきれいな式になった。また、具体的に A^{2} + 2B^{2} を書き出せば、 R(N) を数えることもできたので、確認することができた。しかし、 A^{2} − 2B^{2} などは A, B を大きくしていっても小さな N が出てくることがありえるので、証明しにくい。整数環の中には素元分解の法則が成立しないことがあったりと、他の場合の証明は複雑になるかもしれないが、いろいろな場合についてこれからも考えていきたいと思う。

参考文献

[1] ジョセフ・Ｈ・シルヴァーマン著、鈴木治郎訳：「はじめての数論」（ピアソン・エデュケーション）

[2] 加藤和也著：「解決！フェルマーの最終定理」（日本評論社）

[3] 加藤和也・黒川信重・斎藤毅著：「数論１」（岩波書店）